задача на теорию групп. перестановки

[Naatikin]

Есть множество из $n$ различных перестановок, это множество обладает замкнутостью. как доказать, что в этом множестве дб единичный элемент?

[ИСН]

Множество ничем не обладает. Замкнутостью обладает не множество. Или не просто множество.

[Naatikin]

ИСН,
произведение любой пары элементов из множества лежит в этом множестве.

[ИСН]

У множества белых кроликов нет никакой операции произведения. А у иных множеств, наоборот, этих операций несколько. Поэтому обычно говорят сразу: множество такое-то с операцией такой-то (какой?); и вот оно да, замкнуто.

[Naatikin]

(Оффтоп)

всегда полагал, что если говорят об подстановках, то операция композиции подразумевается по-умолчанию.

операция композиции

[AV_77]

Возьмите любую подстановку из вашего множества и рассмотрите ее степени.

[Naatikin]

AV_77, но это абстрактное множество и там нет никаких конкретных подстановок. либо вы имеете ввиду, что взять элемент из множества и возвести его во 2-ю, в 3-ю ... n-ю степень и посмотреть результат. Я пробовал и ничего не получилось из этого.

[AV_77]

Naatikin в сообщении #704506 писал(а):

но это абстрактное множество и там нет никаких конкретных подстановок.

Тогда как ваше "абстрактное множество" связано с группой подстановок и что является его элементами?

[мат-ламер]

Naatikin в сообщении #704480 писал(а):

как доказать, что в этом множестве дб единичный элемент?

дб - э. к. ?

[ИСН]

(Оффтоп)

Naatikin в сообщении #704495 писал(а):

всегда полагал, что если говорят об подстановках, то операция композиции подразумевается по-умолчанию.

Разумеется. Но всё же не настолько, чтобы просто так употреблять фразу "множество обладает замкнутостью". В ней чего-то не хватает.

Ну э. Возьмём все перестановки тех же объектов. Это группа? Группа. А у нас? А у нас, видимо, не все. Но ведь что такое порядок элемента, мы знаем?

[Naatikin]

ещё раз
есть множество размера n состоящее из подстановок (конкретных подстановок нет), все элементы множества различные. операция в множестве композиция. произведение любой пары элементов из множества равно элементу из этого множества. Это свойство замкнутости. Нужно доказать, что это группа, но как операция композиции ассоциативна и свойство замкнутости дано по условию, то задача сводится к доказательству существования единичного элемента в этом множестве (и как следствие обратного).

-- 01.04.2013, 22:05 --

ИСН
ведь порядок элемента имеет смысл, только при наличии единичного элемента

[AV_77]

Тогда еще раз. Возьмите любую подстановку из вашего множества и смотрите на ее степени. Так как множество конечно, то когда-то начнутся повторения. Что из этого следует?

PS. Кстати, так как вы рассматриваете подстановки, то должны знать, что множество всех подстановок является группой, в частности, содержит единицу. Этим тоже можно воспользоваться.

[ИСН]

Да понятно, что конкретных подстановок нет, но размера-то они какого? Наверное, какого-то? Вряд ли же совсем никакого. Пусть он неизвестен, но где-то он есть, так? Ну вот и возьмём все подстановки такого размера. Они...

[мат-ламер]

Извините, что встреваю в плодотворную дискуссию. Naatikin.
Посмотрите внимательно на множество перестановок. Может быть в этом множестве есть элемент чем-то выделяющийся от остальных?

[Naatikin]

ИСН в сообщении #704516 писал(а):

Да понятно, что конкретных подстановок нет, но размера-то они какого? Наверное, какого-то? Вряд ли же совсем никакого. Пусть он неизвестен, но где-то он есть, так? Ну вот и возьмём все подстановки такого размера. Они...

думаю я забыл добавить ещё одно условие, что подстановка длины n - по условию.