Период матрицы

[devgen]

Let k be a positive integer. Determine those real numbers c, for which every sequence $\{x_n\}$ of real numbers satisfying the reccurence relation: $\frac{1}{2} (x_{n+1}+x_{n-1})=cx_n$ has period k

Это тоже самое что возводить в степень матрицу $A$:

$$ \begin{pmatrix} 2c & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Вроде я хочу найти такие $c$, чтобы $A^k$ была единичной. Но как это сделать (1) я не понял, и пошел по-другому. Нашел собственные числа и вектора, выразил через них $(x_1,x_0)'$ и $A^k\cdot(x_1,x_0)'$. Выходит, что $\lambda_1^k=\lambda_2^k=1$. И что делать? И как разобраться с (1)? Ответ $c=\cos(\frac{2\pi j}{k})$, что похоже на действительную часть корней из единицы.

[ИСН]

А собственные числа и вектора Вы с тех пор обратно потеряли? Именно через них и надо. (Даже вектора не нужны - только числа.)

[devgen]

ИСН
$\lambda_1=c+\sqrt{c^2-1}$, $v_1=(c+\sqrt{c^2-1};1)'$
$\lambda_2=c-\sqrt{c^2-1}$, $v_2=(c-\sqrt{c^2-1};1)'$

$ \begin{pmatrix} x_1\\ x_0 \end{pmatrix} = \alpha_1 v_1+ \alpha_2 v_2 $
$ A^k \begin{pmatrix} x_1\\ x_0 \end{pmatrix} = \alpha_1\lambda_1^k v_1+ \alpha_2 \lambda_2^k v_2 $


$(c+\sqrt{c^2-1})^k=1$
$(c-\sqrt{c^2-1})^k=1$

[ИСН]

Ну да, собственно, вот и всё. Из последних двух формул выражайте c - это оно и будет.

[devgen]

ИСН
Я не понимаю, что делать. Искать комплексные корни из единицы?
Если нет, если я действую только в действительных числах, то у меня получается:
$2c^2+2\sqrt{c^2-1}=2$
$2c^2-2\sqrt{c^2-1}=2$
Отсюда: $4c^2=4, c=\pm 1$ Что делать с $-1$ не понятно, она годится только для чётных $k$. Да и вообще, при таких $c$ собственные вектора получаются одинаковые, не знаю, что из этого следует, но как-то нехорошо.
-----
В указаниях говориться: "A neccessary condition for $A^k = I$ is that the eigenvalues of A be kth roots of unity".
Откуда они берут это? Из того, что $A^k=(C^{-1})^k \ \operatorname{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k)(C^k)$ и если по-средине единичная, то все схлопывается в единичную? Но что выходит, когда $c=\pm1$ и откуда "kth roots of unity", если в условии говорится, что у нас все действительное?

[ИСН]

В условии нигде не говорится, что у Вас всё действительное. Говорится, что действительное c. Для собственных чисел это не означает ничего.
Ввиду ничтожности оставшегося шага, пожалуй, я дальше пояснять не буду.