Пространство с негативной нормой

[DLL]

Рассмотрим оператор $A = - d^2/dx^2$, действующий в $H = L_2(0,l)$ с областью определения $D(A) = \lbrace u|u \in W^2_2: u(0)=u'(l)=0 \rbrace$.
Этот оператор самосопряжен, положительно определен $(A(t)u,u) \ge c |u|^2, c > 0$. Обратный к нему $A^{-1}$ ограничен и положителен $(A^{-1}u,u) > 0, u \ne 0$.
Определим скалярное произведение $\langle u,v \rangle = (A^{-1}u, v)_H, u,v \in H$. Пополним пространство $H$ по норме, порожденной этим скалярным произведением.

Обозначим новое гильбертово пространство $H_1$. Интересуют свойства этого пространства. Будут ли элементы этого пространства функциями?

[Oleg Zubelevich]

представьте это скалярное произведение в терминах коэффициентов Фурье при разложении по собственным функциям оператора $A$

[Oleg Zubelevich]

DLL в сообщении #700416 писал(а):

Обозначим новое гильбертово пространство $H_1$. Интересуют свойства этого пространства.

Думаю, что $H_1=\{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$

[DLL]

А что значит $u(0) = 0$?

Ведь пространство $H = L_2(0,l)$ непрерывно вложено в $H_1$, а у элементов $L_2$ следов нет

[Oleg Zubelevich]

Виноват, что-то я не обратил внимания на то, что в скалярном произведении $A$ стоит в минус первой степени. Ну тогда по видимому $H_1$ это сопряженное к пространству $\{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$ и соответственно не все обобщенные функции из $H_1$ имеют суммируемую плотность, в том смысле, что не всякий линейный непрерывный функционал на $\{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$ представляется в виде $\int_0^lf(x)u(x)dx$. Это ответ на вопрос

DLL в сообщении #700416 писал(а):

Будут ли элементы этого пространства функциями?

если вы выпишите собственные функции $A$, то описать $H_1$ можно будет в терминах коэффициентов фурье

[DLL]

Немного не понял мысль.
Вот это пространство: \{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$.
Это что-то типа области определения квадратного корня $A^{1/2}$?

[Oleg Zubelevich]

Докажите, что ваше $H_1$ является сопряженным к пространству $X=\{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$ снабженному нормой $H^1(0,l)$

$$A:D(A)\to X',\quad (A(u),v)=\int_0^lu_xv_xdx,\quad u\in D(A)\subset X,\quad v\in X$$

[DLL]

$H^1(0,l)$ - это что за пространство?

[Oleg Zubelevich]

пространство Соболева функций $f,f_x\in L^2(0,l)$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #701975 писал(а):

Докажите, что ваше $H_1$ является сопряженным к пространству $X=\{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$ снабженному нормой $H^1(0,l)$

Это плохая формулировка. Что значит "является"? Изоморфно? Любые 2 (сепарабельных) гильбертовых пространства изоморфны. Естественно изоморфно? Тогда надо указать изоморфизм.

Конструктивное описание можно предложить такое. Рассмотрим пространство всех распределений на $[0;l]$. Понятно, что распределения бывают только на открытом множестве; распределением на $[0;l]$ назовем класс эквивалентности распределений на $\mathbb R$. Два распределения на $\mathbb R$ считаются эквивалентными, если для любых двух гладких функций, совпадающих на $[0;l]$, действия распределения на эти функции совпадают. Ясно, что не важно, какой именно класс распределений на $\mathbb R$ рассматривать ($\mathcal D$, $\mathcal S$ или $\mathcal E$), т. к. всегда можно домножить на срезающую функцию с носителем в окрестности $[0;l]$.

Для любого такого распределения определены коэффициенты Фурье: это действие распределения на функцию $\sin(\pi(n+1/2)x/l)$ или как-то так. Легко видеть, что область определения оператора $A$ --- это пространство указанных распределений, для которых сумма

$$ \sum\limits_{n}(n+1/2)^4 |u_n|^2. $$

сходится. Такие распределения автоматически будут регулярными функциями, и даже сколько-то раз дифференцируемыми.

Соответственно, пространство ТС (пополнение по норме $(A^{-1}u,u)$) --- это гильбертово пространство указанных распределений, для которых ряд

$$ \sum\limits_{n}(n+1/2)^{-2} |u_n|^2 $$

сходится. Это будет пространство Соболева $H^{-1}(0;l)$. Его элементы, вообще говоря, не будут функциями. В частности, там лежат распределения $\delta(x-a)$.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #702803 писал(а):

Это плохая формулировка. Что значит "является"? Изоморфно? Любые 2 гильбертовых пространства изоморфны

смотреть надо как следует:

Oleg Zubelevich в сообщении #701975 писал(а):

$$A:D(A)\to X',\quad (A(u),v)=\int_0^lu_xv_xdx,\quad u\in D(A)\subset X,\quad v\in X$$

-- Чт мар 28, 2013 22:49:32 --

g______d в сообщении #702803 писал(а):

будет пространство Соболева $H^{-1}(0;l)$

вообще-то это сопряженное к пространству функций из $H^1$ с нулевым следом. выражение нормы через коэффициены фурье такое же, но базис собственных функций другой. аккуратней надо

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #701975 писал(а):

$$A:D(A)\to X',\quad (A(u),v)=\int_0^lu_xv_xdx,\quad u\in D(A)\subset X,\quad v\in X$$

Да, прошу прощения, я некоторые вещи пропустил. Включение $D(A)\subset X$ неверно, но в целом у Вас то же самое.

-- 28.03.2013, 23:55 --

Oleg Zubelevich в сообщении #702811 писал(а):

аккуратней надо

Мне казалось, что на отрезке это то же самое, но я подумаю.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #702820 писал(а):

Включение $D(A)\subset X$ неверно,

Это как

DLL в сообщении #700416 писал(а):

$D(A) = \lbrace u|u \in W^2_2: u(0)=u'(l)=0 \rbrace$

Oleg Zubelevich в сообщении #701975 писал(а):

у $X=\{u\in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}$

[g______d]

Ну так, $W_2^2$ --- это $H^2$, а не $H^1$.

Так, я сказал еще одну глупость...

[DLL]

Спасибо!