Докажите, что ваше

является сопряженным к пространству

снабженному нормой

Это плохая формулировка. Что значит "является"? Изоморфно? Любые 2 (сепарабельных) гильбертовых пространства изоморфны. Естественно изоморфно? Тогда надо указать изоморфизм.
Конструктивное описание можно предложить такое. Рассмотрим пространство всех распределений на
![$[0;l]$ $[0;l]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e80c1a737223d06e51071babd7e41c282.png)
. Понятно, что распределения бывают только на открытом множестве; распределением на
![$[0;l]$ $[0;l]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e80c1a737223d06e51071babd7e41c282.png)
назовем класс эквивалентности распределений на

. Два распределения на

считаются эквивалентными, если для любых двух гладких функций, совпадающих на
![$[0;l]$ $[0;l]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e80c1a737223d06e51071babd7e41c282.png)
, действия распределения на эти функции совпадают. Ясно, что не важно, какой именно класс распределений на

рассматривать (

,

или

), т. к. всегда можно домножить на срезающую функцию с носителем в окрестности
![$[0;l]$ $[0;l]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e80c1a737223d06e51071babd7e41c282.png)
.
Для любого такого распределения определены коэффициенты Фурье: это действие распределения на функцию

или как-то так. Легко видеть, что область определения оператора

--- это пространство указанных распределений, для которых сумма

сходится. Такие распределения автоматически будут регулярными функциями, и даже сколько-то раз дифференцируемыми.
Соответственно, пространство ТС (пополнение по норме

) --- это гильбертово пространство указанных распределений, для которых ряд

сходится. Это будет пространство Соболева

. Его элементы, вообще говоря, не будут функциями. В частности, там лежат распределения

.