помогите подсчитать линейные подпространства

[voipp]

Пусть $F$ поле из $q$ элементов. Дано подпространство $U$ линейного пространства $V$, размерности которых равны соответственно $m<n$.
Необходимо подсчитать количество подпространств$W$ , таких которые образую прямую сумму с пространством $U$ и она равна $V$.
Вот как я рассуждал.
$v=u+w, \ \ A(u \ w)^T =0$. Нулевой вектор однозначно разлагается.A - матрица, у которой столбцы базис пространств $W \ U$. Приравниваем дискриминант 0 и через это надо найти ее составляющие.Но у нас же подпространства, которые имеют неоднозначные базисы.И как их различать?!

[Sonic86]

voipp в сообщении #702770 писал(а):

Пусть $F$ поле из $q$ элементов. Дано подпространство $U$ линейного пространства $V$, размерности которых равны соответственно $m<n$.
Необходимо подсчитать количество подпространств$W$ , таких которые образую прямую сумму с пространством $U$ и она равна $V$

Так, а как поле $F$ связано со всеми прочими пространствами? Пространства берутся из $F$? Может быть они берутся над $F$?

[voipp]

Sonic86 в сообщении #702778 писал(а):

voipp в сообщении #702770 писал(а):

Пусть $F$ поле из $q$ элементов. Дано подпространство $U$ линейного пространства $V$, размерности которых равны соответственно $m<n$.
Необходимо подсчитать количество подпространств$W$ , таких которые образую прямую сумму с пространством $U$ и она равна $V$

Так, а как поле $F$ связано со всеми прочими пространствами? Пространства берутся из $F$? Может быть они берутся над $F$?

Да пространства берутся над $F$

[Sonic86]

voipp в сообщении #702770 писал(а):

$W \ U$

А это у Вас $W\setminus U$?

[voipp]

Sonic86 в сообщении #702785 писал(а):

voipp в сообщении #702770 писал(а):

$W \ U$

А это у Вас $W\setminus U$?

Извиняюсь . Вот так правильнее: "...у которой столбцы есть базис пространств W , U."
Тоесть каждый из столбцов - сумма базисных векторов каждого этого пространства.

PS мне кажется это бред, но ничего другого не приходит в голову.

[Sonic86]

voipp в сообщении #702770 писал(а):

Но у нас же подпространства, которые имеют неоднозначные базисы.И как их различать?!

Можно попытаться выбрать базис $U$ и матрицы координат базисных векторов подпространств $W$ приводить к треугольному виду (точнее, матрица должна быть размером $n-m$ на $m$, в ней слева стоит единичная подматрица размером $m\times m$, а остальные элементы - любые). Тогда подпространства совпадают тогда и только тогда, когда совпадают приведенные виды матриц. И исходя из последнего сводит вычисление числа подпространств к вычислению числа матриц такого вида.
Тааак, или нет?
Вроде правильно. Попробовать можно. Можно взять $F,n,m$ поменьше и попробовать посчитать так в общем виде и поперебирать руками и проверить - сходится или нет.

[voipp]

а почему можно привести к такому виду матрицы? Они должны быть кстати размером $n$ - строк на $(n-m)$ столбцов

может так :
составить матрицу , у которой левые $n-m$ столбцов равны , например, единичным векторам.Остальные $m$ столбцов их неизвестных векторов. Заставляем определитель такой матрицу равняться 0. Это будет означать , что нулевой вектор разлагается только на нули, а это приведет к условию в начале задачи($w=0,u=0$) .
Раскладываем , например по столбцу такую матрицу и приравниваем к 0 и находим коэффициенты в неизвестных столбцах

Я пришел вот к чему: сколько матриц $mXm$ над полем из q элементов не вырожденных.
А это означает, сколько групп базисных векторов

не понимаю, какое условие кроме $dim(W_{1}+W_{2})=dimW_{1}+dimW_{2}$ использовать для "разных" подпространств

[Sonic86]

voipp в сообщении #702794 писал(а):

а почему можно привести к такому виду матрицы?

Потому что они составлены из базисных векторов, а значит все строки линейно независимы + $F$ - поле.

voipp в сообщении #702794 писал(а):

Они должны быть кстати размером $n$ - строк на $(n-m)$ столбцов

Это почему это? Вот пусть $\dim U=3, \dim V=2$, тогда $\dim W=1$. Значит $W$ натянуто на один вектор, у которого 3 координаты (т.к. $\dim U=3$). Если я матрицу выпишу, будет матрица $1\times 3$ - одна строка и 3 столбца (хотя, Вы может просто ее транспонировали - Вам из каких-то соображений так удобнее, но тогда применяйте метод Гаусса не к строкам, а к столбцам)

(Оффтоп)

вечером руками решу, сейчас работать надо

[iifat]

voipp в сообщении #702794 писал(а):

не понимаю, какое условие кроме $dim(W_{1}+W_{2})=dimW_{1}+dimW_{2}$ использовать для "разных" подпространств

Что-то мне моё революционное чутьё упорно и назойливо твердит, что подпространство как раз будет ровно одно. Доказать пока не готов, так что могу и ошибаться.

-- 29.03.2013, 18:45 --

Впрочем, врёт. Не одно.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #702791 писал(а):

Тааак, или нет?

Я не учел, что сумма подпространств прямая.

iifat в сообщении #702907 писал(а):

Что-то мне моё революционное чутьё упорно и назойливо твердит, что подпространство как раз будет ровно одно.

Что-то я тоже думаю, что Ваше чутье не врет: из ортогональности подпространств следует, что матрица координат элементов базиса $B_U, B_W$ разбивается на 2 блока, а потом матрица $M(B_W)\simeq E_{\dim W}$.
Например, в евклидовых пространствах ортогональное дополнение как раз единственно.

iifat в сообщении #702907 писал(а):

Впрочем, врёт. Не одно.

почему?

[iifat]

Почему врёт? Дык неразумное оно у меня.
А почему не одно? Ну, если к каждому вектору базиса прибавить любой вектор из нашего подпространства, получится снова базис подпространства, аналогичного (дополняющего) подпространства, не совпадающего с первым. Не знаю уж, все ли подпространства таким образом исчерпываются...

-- 30.03.2013, 01:43 --

Имеется в виду -- "если к каждому вектору базиса дополняющего подпространства"

[Sonic86]

iifat в сообщении #703060 писал(а):

А почему не одно? Ну, если к каждому вектору базиса прибавить любой вектор из нашего подпространства, получится снова базис подпространства, аналогичного (дополняющего) подпространства, не совпадающего с первым.

Если к каждому элементу базиса $B_W$ подпространства $W$ мы добавим произвольный вектор из $U$, то новое подпространство не обязано быть ортогональным к $V$, так ведь?
Даже еще проще: просто нарушится условие прямой суммы $U=V\oplus W$ - разложение вектора $u$ в сумму $v+w$ станет неединственным.

[iifat]

Виноват. Имелось виду -- вектор как раз из $V$. Разложение останется единственным.

[Sonic86]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #703082 писал(а):

Виноват. Имелось виду -- вектор как раз из $V$. Разложение останется единственным.

Значит у Вас хорошее чутье

[voipp]

Sonic86 в сообщении #702862 писал(а):

voipp в сообщении #702794 писал(а):

а почему можно привести к такому виду матрицы?

Потому что они составлены из базисных векторов, а значит все строки линейно независимы + $F$ - поле.

voipp в сообщении #702794 писал(а):

Они должны быть кстати размером $n$ - строк на $(n-m)$ столбцов

Это почему это? Вот пусть $\dim U=3, \dim V=2$, тогда $\dim W=1$. Значит $W$ натянуто на один вектор, у которого 3 координаты (т.к. $\dim U=3$). Если я матрицу выпишу, будет матрица $1\times 3$ - одна строка и 3 столбца (хотя, Вы может просто ее транспонировали - Вам из каких-то соображений так удобнее, но тогда применяйте метод Гаусса не к строкам, а к столбцам)

(Оффтоп)

вечером руками решу, сейчас работать надо

Я тоже так думал, пока, прочитав учебник, не снизошло ко мне приведение - метод гаусса надо применять к строкам , если столбцы этой матрицы - базис. Базис, при методе гаусса к строкам, не меняет положения а значит , столбцы в базисном миноре есть линейно независимые