2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 21:16 
Пусть $F$ поле из $q$ элементов. Дано подпространство $U$ линейного пространства $V$, размерности которых равны соответственно $m<n$.
Необходимо подсчитать количество подпространств$W$ , таких которые образую прямую сумму с пространством $U$ и она равна $V$.
Вот как я рассуждал.
$v=u+w, \ \ A(u \ w)^T =0$. Нулевой вектор однозначно разлагается.A - матрица, у которой столбцы базис пространств $W \ U$. Приравниваем дискриминант 0 и через это надо найти ее составляющие.Но у нас же подпространства, которые имеют неоднозначные базисы.И как их различать?!

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 21:32 
voipp в сообщении #702770 писал(а):
Пусть $F$ поле из $q$ элементов. Дано подпространство $U$ линейного пространства $V$, размерности которых равны соответственно $m<n$.
Необходимо подсчитать количество подпространств$W$ , таких которые образую прямую сумму с пространством $U$ и она равна $V$
Так, а как поле $F$ связано со всеми прочими пространствами? Пространства берутся из $F$? Может быть они берутся над $F$?

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 21:33 
Sonic86 в сообщении #702778 писал(а):
voipp в сообщении #702770 писал(а):
Пусть $F$ поле из $q$ элементов. Дано подпространство $U$ линейного пространства $V$, размерности которых равны соответственно $m<n$.
Необходимо подсчитать количество подпространств$W$ , таких которые образую прямую сумму с пространством $U$ и она равна $V$
Так, а как поле $F$ связано со всеми прочими пространствами? Пространства берутся из $F$? Может быть они берутся над $F$?


Да пространства берутся над $F$

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 21:37 
voipp в сообщении #702770 писал(а):
$W \ U$
А это у Вас $W\setminus U$?

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 21:43 
Sonic86 в сообщении #702785 писал(а):
voipp в сообщении #702770 писал(а):
$W \ U$
А это у Вас $W\setminus U$?

Извиняюсь . Вот так правильнее: "...у которой столбцы есть базис пространств W , U." :lol:
Тоесть каждый из столбцов - сумма базисных векторов каждого этого пространства.

PS мне кажется это бред, но ничего другого не приходит в голову.

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 21:46 
voipp в сообщении #702770 писал(а):
Но у нас же подпространства, которые имеют неоднозначные базисы.И как их различать?!
Можно попытаться выбрать базис $U$ и матрицы координат базисных векторов подпространств $W$ приводить к треугольному виду (точнее, матрица должна быть размером $n-m$ на $m$, в ней слева стоит единичная подматрица размером $m\times m$, а остальные элементы - любые). Тогда подпространства совпадают тогда и только тогда, когда совпадают приведенные виды матриц. И исходя из последнего сводит вычисление числа подпространств к вычислению числа матриц такого вида.
Тааак, или нет? :roll:
Вроде правильно. Попробовать можно. Можно взять $F,n,m$ поменьше и попробовать посчитать так в общем виде и поперебирать руками и проверить - сходится или нет.

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение28.03.2013, 22:03 
а почему можно привести к такому виду матрицы? Они должны быть кстати размером $n$ - строк на $(n-m)$ столбцов

может так :
составить матрицу , у которой левые $n-m$ столбцов равны , например, единичным векторам.Остальные $m$ столбцов их неизвестных векторов. Заставляем определитель такой матрицу равняться 0. Это будет означать , что нулевой вектор разлагается только на нули, а это приведет к условию в начале задачи($w=0,u=0$) .
Раскладываем , например по столбцу такую матрицу и приравниваем к 0 и находим коэффициенты в неизвестных столбцах

Я пришел вот к чему: сколько матриц $mXm$ над полем из q элементов не вырожденных.
А это означает, сколько групп базисных векторов :shock:

не понимаю, какое условие кроме $dim(W_{1}+W_{2})=dimW_{1}+dimW_{2}$ использовать для "разных" подпространств

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 06:27 
voipp в сообщении #702794 писал(а):
а почему можно привести к такому виду матрицы?
Потому что они составлены из базисных векторов, а значит все строки линейно независимы + $F$ - поле.

voipp в сообщении #702794 писал(а):
Они должны быть кстати размером $n$ - строк на $(n-m)$ столбцов
Это почему это? :shock: Вот пусть $\dim U=3, \dim V=2$, тогда $\dim W=1$. Значит $W$ натянуто на один вектор, у которого 3 координаты (т.к. $\dim U=3$). Если я матрицу выпишу, будет матрица $1\times 3$ - одна строка и 3 столбца (хотя, Вы может просто ее транспонировали - Вам из каких-то соображений так удобнее, но тогда применяйте метод Гаусса не к строкам, а к столбцам)

(Оффтоп)

вечером руками решу, сейчас работать надо

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 10:38 
voipp в сообщении #702794 писал(а):
не понимаю, какое условие кроме $dim(W_{1}+W_{2})=dimW_{1}+dimW_{2}$ использовать для "разных" подпространств

Что-то мне моё революционное чутьё упорно и назойливо твердит, что подпространство как раз будет ровно одно. Доказать пока не готов, так что могу и ошибаться.

-- 29.03.2013, 18:45 --

Впрочем, врёт. Не одно.

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 17:22 
Sonic86 в сообщении #702791 писал(а):
Тааак, или нет? :roll:
Я не учел, что сумма подпространств прямая.

iifat в сообщении #702907 писал(а):
Что-то мне моё революционное чутьё упорно и назойливо твердит, что подпространство как раз будет ровно одно.
Что-то я тоже думаю, что Ваше чутье не врет: из ортогональности подпространств следует, что матрица координат элементов базиса $B_U, B_W$ разбивается на 2 блока, а потом матрица $M(B_W)\simeq E_{\dim W}$.
Например, в евклидовых пространствах ортогональное дополнение как раз единственно.

iifat в сообщении #702907 писал(а):
Впрочем, врёт. Не одно.
почему?

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 17:31 
Почему врёт? Дык неразумное оно у меня.
А почему не одно? Ну, если к каждому вектору базиса прибавить любой вектор из нашего подпространства, получится снова базис подпространства, аналогичного (дополняющего) подпространства, не совпадающего с первым. Не знаю уж, все ли подпространства таким образом исчерпываются...

-- 30.03.2013, 01:43 --

Имеется в виду -- "если к каждому вектору базиса дополняющего подпространства"

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 17:49 
iifat в сообщении #703060 писал(а):
А почему не одно? Ну, если к каждому вектору базиса прибавить любой вектор из нашего подпространства, получится снова базис подпространства, аналогичного (дополняющего) подпространства, не совпадающего с первым.
Если к каждому элементу базиса $B_W$ подпространства $W$ мы добавим произвольный вектор из $U$, то новое подпространство не обязано быть ортогональным к $V$, так ведь? :roll:
Даже еще проще: просто нарушится условие прямой суммы $U=V\oplus W$ - разложение вектора $u$ в сумму $v+w$ станет неединственным.

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 18:06 
Виноват. Имелось виду -- вектор как раз из $V$. Разложение останется единственным.

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 18:24 

(Оффтоп)

iifat в сообщении #703082 писал(а):
Виноват. Имелось виду -- вектор как раз из $V$. Разложение останется единственным.
Значит у Вас хорошее чутье :-)

 
 
 
 Re: помогите подсчитать линейные подпространства
Сообщение29.03.2013, 18:34 
Sonic86 в сообщении #702862 писал(а):
voipp в сообщении #702794 писал(а):
а почему можно привести к такому виду матрицы?
Потому что они составлены из базисных векторов, а значит все строки линейно независимы + $F$ - поле.

voipp в сообщении #702794 писал(а):
Они должны быть кстати размером $n$ - строк на $(n-m)$ столбцов
Это почему это? :shock: Вот пусть $\dim U=3, \dim V=2$, тогда $\dim W=1$. Значит $W$ натянуто на один вектор, у которого 3 координаты (т.к. $\dim U=3$). Если я матрицу выпишу, будет матрица $1\times 3$ - одна строка и 3 столбца (хотя, Вы может просто ее транспонировали - Вам из каких-то соображений так удобнее, но тогда применяйте метод Гаусса не к строкам, а к столбцам)

(Оффтоп)

вечером руками решу, сейчас работать надо


Я тоже так думал, пока, прочитав учебник, не снизошло ко мне приведение - метод гаусса надо применять к строкам , если столбцы этой матрицы - базис. Базис, при методе гаусса к строкам, не меняет положения а значит , столбцы в базисном миноре есть линейно независимые

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group