Наглядное интегрирование

[anik]

Интересная, на мой взгляд, задачка, правда не совсем (или совсем не) олимпиадная.
Как с помощью рулона бумаги найти формулу для площади круга, если известна формула для длины окружности?

-- Пн мар 25, 2013 19:39:23 --

Может быть, эта задача скорее математическая, чем физическая?

[gris]

Ну, например, так: отрываем от рулона кусок бумаги. Нет, это не то. Перематываем рулон потуже, чтобы в центре не было дырочки. Взвешиваем. Сматываем половину рулона (по радиусу!) и снова взвешиваем. Для контроля сматываем до трети радиуса. Масса рулона как цилиндра пропорциональна площади основания. Определяем, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. А длина окружности пропорциональна радиусу (с другим коэффициентом), так как подобие. В результате получаем $\pi R^2$.

[anik]

"Нет, это не то". (Всё гораздо проще и интереснее).
"Перематываем рулон потуже, чтобы в центре не было дырочки".
Вот это требование правильное.
Подсказка: нужно рулон соответствующим образом разрезать.

-- Пн мар 25, 2013 21:24:53 --

Можно даже мысленно разрезать. Ничего измерять и взвешивать не нужно.

[gris]

Провёл натурные испытания. Действительно, получается необыкновенно красиво даже с мягкой бумагой. Разрезаем рулон вдоль от середины до края и выкладываем на стол. Получаем треугольную призму. Очень наглядно.

[anik]

gris Вы решили эту задачу!
Для тех, у кого нет геометрического воображения, привожу рисунок.

$S=1/2RL$, $L=2\pi R$.

[Утундрий]

На рисунке нет разреза, поэтому уточню, что зафиксированный рулон резать нужно сверху. В процессе разрезания сперва на стол планирует самая широкая полоса, потом по-уже (радиус-то у ней поменьше) и так далее и так далее.

[zer0]

Можно и не резать - достаточно подумать: площадь треугольника=высота*основание/2. Получается много маленьких треугольников, высота которых R а сумма оснований 2пиR (это дано "сверху"). Получаем 2пи*R*R/2= пиR^2. Итак, при нахождении площади круга с помощью рулона сам рулон как таковой не нужен