2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 14:51 
Интересная, на мой взгляд, задачка, правда не совсем (или совсем не) олимпиадная.
Как с помощью рулона бумаги найти формулу для площади круга, если известна формула для длины окружности?

-- Пн мар 25, 2013 19:39:23 --

Может быть, эта задача скорее математическая, чем физическая?

 
 
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 16:13 
Аватара пользователя
Ну, например, так: отрываем от рулона кусок бумаги. Нет, это не то. Перематываем рулон потуже, чтобы в центре не было дырочки. Взвешиваем. Сматываем половину рулона (по радиусу!) и снова взвешиваем. Для контроля сматываем до трети радиуса. Масса рулона как цилиндра пропорциональна площади основания. Определяем, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. А длина окружности пропорциональна радиусу (с другим коэффициентом), так как подобие. В результате получаем $\pi R^2$.

 
 
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 16:33 
"Нет, это не то". (Всё гораздо проще и интереснее).
"Перематываем рулон потуже, чтобы в центре не было дырочки".
Вот это требование правильное.
Подсказка: нужно рулон соответствующим образом разрезать.

-- Пн мар 25, 2013 21:24:53 --

Можно даже мысленно разрезать. Ничего измерять и взвешивать не нужно.

 
 
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 17:26 
Аватара пользователя
Провёл натурные испытания. Действительно, получается необыкновенно красиво даже с мягкой бумагой. Разрезаем рулон вдоль от середины до края и выкладываем на стол. Получаем треугольную призму. Очень наглядно.

 
 
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 18:40 
gris Вы решили эту задачу!
Для тех, у кого нет геометрического воображения, привожу рисунок.
Изображение
$S=1/2RL$, $L=2\pi R$.

 
 
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение27.03.2013, 22:12 
Аватара пользователя
На рисунке нет разреза, поэтому уточню, что зафиксированный рулон резать нужно сверху. В процессе разрезания сперва на стол планирует самая широкая полоса, потом по-уже (радиус-то у ней поменьше) и так далее и так далее.

 
 
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение28.03.2013, 13:56 
Можно и не резать - достаточно подумать: площадь треугольника=высота*основание/2. Получается много маленьких треугольников, высота которых R а сумма оснований 2пиR (это дано "сверху"). Получаем 2пи*R*R/2= пиR^2. Итак, при нахождении площади круга с помощью рулона сам рулон как таковой не нужен :-)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group