2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 14:51 
Заблокирован


30/07/09

2208
Интересная, на мой взгляд, задачка, правда не совсем (или совсем не) олимпиадная.
Как с помощью рулона бумаги найти формулу для площади круга, если известна формула для длины окружности?

-- Пн мар 25, 2013 19:39:23 --

Может быть, эта задача скорее математическая, чем физическая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13692
Ну, например, так: отрываем от рулона кусок бумаги. Нет, это не то. Перематываем рулон потуже, чтобы в центре не было дырочки. Взвешиваем. Сматываем половину рулона (по радиусу!) и снова взвешиваем. Для контроля сматываем до трети радиуса. Масса рулона как цилиндра пропорциональна площади основания. Определяем, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. А длина окружности пропорциональна радиусу (с другим коэффициентом), так как подобие. В результате получаем $\pi R^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 16:33 
Заблокирован


30/07/09

2208
"Нет, это не то". (Всё гораздо проще и интереснее).
"Перематываем рулон потуже, чтобы в центре не было дырочки".
Вот это требование правильное.
Подсказка: нужно рулон соответствующим образом разрезать.

-- Пн мар 25, 2013 21:24:53 --

Можно даже мысленно разрезать. Ничего измерять и взвешивать не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13692
Провёл натурные испытания. Действительно, получается необыкновенно красиво даже с мягкой бумагой. Разрезаем рулон вдоль от середины до края и выкладываем на стол. Получаем треугольную призму. Очень наглядно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение25.03.2013, 18:40 
Заблокирован


30/07/09

2208
gris Вы решили эту задачу!
Для тех, у кого нет геометрического воображения, привожу рисунок.
Изображение
$S=1/2RL$, $L=2\pi R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение27.03.2013, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8077
На рисунке нет разреза, поэтому уточню, что зафиксированный рулон резать нужно сверху. В процессе разрезания сперва на стол планирует самая широкая полоса, потом по-уже (радиус-то у ней поменьше) и так далее и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядное интегрирование
Сообщение28.03.2013, 13:56 


04/06/12
279
Можно и не резать - достаточно подумать: площадь треугольника=высота*основание/2. Получается много маленьких треугольников, высота которых R а сумма оснований 2пиR (это дано "сверху"). Получаем 2пи*R*R/2= пиR^2. Итак, при нахождении площади круга с помощью рулона сам рулон как таковой не нужен :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group