Доказать, что определитель не изменится, если...

[Rostislav1]

Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец

Думал воспользоваться следующим свойством: если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. т.е. в данном случае общий множитель получается единица. Но я не уверен, что думаю в правильном направлении.

[AV_77]

Rostislav1 в сообщении #700325 писал(а):

если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на любой общий множитель

Сдается мне, что это свойство как-то по другому звучит. Посмотрите в учебнике точную формулировку.

[Rostislav1]

AV_77 в сообщении #700328 писал(а):

Rostislav1 в сообщении #700325 писал(а):

если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на любой общий множитель

Сдается мне, что это свойство как-то по другому звучит. Посмотрите в учебнике точную формулировку.

Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.
http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Si ... s/2/05.htm - свойство №9 - я его имел в виду.

[AV_77]

Так. А чем вас 1 в качестве этого "одного и того же" числа не устраивает? Ведь в свойстве на число никаких ограничений не накладывается.

[Rostislav1]

AV_77 в сообщении #700336 писал(а):

Так. А чем вас 1 в качестве этого "одного и того же" числа не устраивает? Ведь в свойстве на число никаких ограничений не накладывается.

Т.е. я был прав? Будет ли такое доказательство верным?

[Sinoid]

Будет.

[Rostislav1]

Мои попытки доказательства:
применив свойство получим следующий определитель:
$\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,1}} + {a_{1,2}}}&{...}&{a_{1,n - 1} + a_{1,n}} \\ {a_{2,1}}&{a_{2,1} + a_{2,2}}&{...}&{a_{2,n - 1} + a_{2,n}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {a_{n,1}}&{a_{n,1} + a_{n,2}}&{...}&{{a_{n,n - 1}} + {a_{n,n}}} \end{array}} \right|\]$

По свойству определителя можем разложить его:

$\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}&{...}&{a1,n} \\ {a_{2,1}}&{a_{2,2}}&{...}&{a_{2,n}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {a_{n,1}}&{a_{n,2}}&{...}&{{a_{n,n}}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,1}}}&{...}&{{a_{1,n}}} \\ {{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}&{...}&{{a_{2,n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{n,1}}}&{{a_{n,2}}}&{...}&{{a_{n,n}}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,1}}}&{...}&{a_{1,n - 1} + a_{1,n}} \\ {a_{2,1}}&{a_{2,1}}&{...}&{a_{2,n - 1} + a_{2,n}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {a_{n,1}}&{a_{n,1}}&{...}&{{a_{n,n - 1}} + {a_{n,n}}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,1}} + {a_{1,2}}}&{...}&{a_{1,n - 1}}&{a_{1,n - 1}}&{{a_{1,n}}} \\ {a_{2,1}}&{a_{2,1} + a_{2,2}}&{...}&{a_{2,n - 1}}&{a_{2,n - 1}}&{{a_{2,n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {a_{n,1}}&{a_{n,1} + a_{n,2}}&{...}&{{a_{n,n - 1}}}&{{a_{n,n - 1}}}&{{a_{n,n}}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}&{...}&{a_{1,n}} \\ {a_{2,1}}&{a_{2,2}}&{...}&{a_{2,n}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {a_{n,1}}&{a_{n,2}}&{...}&{{a_{n,n}}} \end{array}} \right|\]$
Верно ли это?

[Sinoid]

Доказательство неверно: у вас в левой части встречается два раза исходный определитель. Да что вы мучаетесь? Берем квадратную матрицу $A$. После прибавления к последнему столцу матрицы $A$ ее предпоследнего столбца, получим матрицу $A_1$, причем по указанному свойству $\det{A}=\det{A_1}$. Далее к предпоследнему столбцу матрицы $A_1$ прибавляем ее предыдущий столбец, и.т.д.

[Rostislav1]

Sinoid в сообщении #700906 писал(а):

Доказательство неверно: у вас в левой части встречается два раза исходный определитель. Да что вы мучаетесь? Берем квадратную матрицу $A$. После прибавления к последнему столцу матрицы $A$ ее предпоследнего столбца, получим матрицу $A_1$, причем по указанному свойству $\det{A}=\det{A_1}$. Далее к предпоследнему столбцу матрицы $A_1$ прибавляем ее предыдущий столбец, и.т.д.

Не совсем понял, что Вы имеете в виду, а в предыдущем сообщении опечатался. Прикрепляю отредактированную версию
верно ли это?