метод мат. индукции

[FFMiKN]

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, в чем я допускаю ошибку при доказательства тождества 1.11 из сборника "Алгебра и теория чисел для математических школ" Н.Б. Алфутовой.
Необходимо доказать, что
$1^3+2^3+...+n^3= (1+2+...+n)^2$
Первые два шага математической индукции: доказываю для $n=1$ и предполагаю, что тождество верно для каждого $k\leqslant n$.
Затем перехожу к доказательству для $(k+1)$.
$1^3+2^3+...+k^3+ (k+1)^3= (1+2+...+k+(k+1))^2$

$1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k+(k+1))^2 - (k+1)^3 $

$(1+2+...+k)^2= (1+2+...+k+(k+1))^2 - (k+1)^3$

$(1+2+...+k)^2= (1+2+...+k)^2 + 2(1+2+...+k)(k+1)+ (k+1)^2 - (k+1)^3$

$ (k+1)^3=2(1+2+...+k)(k+1)+ (k+1)^2$

$(k+1)^2=2(1+2+...+k)+ (k+1)$

Но последнее равенство не верно. Можно как-то по-другому решить?

[nnosipov]

FFMiKN в сообщении #700758 писал(а):

Но последнее равенство не верно.

А если присмотреться?

[gris]

Вы пишете вначале то, что требуется доказать, а потом равносильными преобразованиями приводите к верному равенству. Лучше об этом предупреждать, а то могут и лишние вопросы задать. Вообще, то же самое, может быть чуточку проще, получается, если использовать формулу для суммы первых степеней.

$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...+k)^2 + (k+1)^3 =(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3=$

$=(k+1)^2/4\cdot (k^2+4(k+1)) =((k+1)(k+2)/2)^2=(1+2+...+k+(k+1))^2$

[FFMiKN]

gris в сообщении #700768 писал(а):

Вы пишете вначале то, что требуется доказать, а потом равносильными преобразованиями приводите к верному равенству.

Хм.. ну я так и сделал. Сначала написал, что нужно доказать, потом преобразовывал и получил то, к чему мне nnosipov посоветовал присмотреться... Вот присматриваюсь.

-- 24.03.2013, 15:26 --

gris в сообщении #700768 писал(а):

Вы пишете вначале то, что требуется доказать, а потом равносильными преобразованиями приводите к верному равенству. Лучше об этом предупреждать, а то могут и лишние вопросы задать. Вообще, то же самое, может быть чуточку проще, получается, если использовать формулу для суммы первых степеней.

$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...+k)^2 + (k+1)^3 =(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3=$

$=(k+1)^2/4\cdot (k^2+4(k+1)) =((k+1)(k+2)/2)^2=(1+2+...+k+(k+1))^2$

Это все с использованием формулы... А вот если я ее не знаю, и решаю как я привел, что посоветуете?

[vorvalm]

FFMiKN в сообщении #700758 писал(а):

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, в чем я допускаю ошибку при доказательства тождества 1.11 из сборника "Алгебра и теория чисел для математических школ" Н.Б. Алфутовой.
Необходимо доказать, что
$1^3+2^3+...+n^3= (1+2+...+n)^2$
Первые два шага математической индукции: доказываю для $n=1$ и предполагаю, что тождество верно для каждого $k\leqslant n$.
Затем перехожу к доказательству для $(k+1)$.
$1^3+2^3+...+k^3+ (k+1)^3= (1+2+...+k+(k+1))^2$

$1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k+(k+1))^2 - (k+1)^3 $

$(1+2+...+k)^2= (1+2+...+k+(k+1))^2 - (k+1)^3$

$(1+2+...+k)^2= (1+2+...+k)^2 + 2(1+2+...+k)(k+1)+ (k+1)^2 - (k+1)^3$

$ (k+1)^3=2(1+2+...+k)(k+1)+ (k+1)^2$

$(k+1)^2=2(1+2+...+k)+ (k+1)$

Но последнее равенство не верно. Можно как-то по-другому решить?

Попробуйте в вашем 3-м шаге привести все к разности квадратов.

[gris]

Я не в качестве совета это сказал, а наоборот . Вы без всяких уведомлений пишете равенство, которое хотите доказать, потом несколько других. Всё верно, но как-то нет стройности. Впрочем, это, конечно, мелочи. А последнее равенство тоже легко следует из формулы для суммы первых степеней.

+++ А если не знаете, то докажите последнее Ваше равенство тоже по индукции Там проще получается.

[FFMiKN]

vorvalm

Спасибо большое, но не стал... И так получается все-таки

gris
Спасибо за подсказку и новую, для меня формулу!

nnosipov

Вы правы... Стоило присмотреться. Спасибо за помощь.