Задача на теорию групп. изоморфизм

[zulf]

задача из задачника Белоногова В.А. (2.16)
Доказать, что $Z^+$ имеет собственные подгруппы и изоморфна каждой из них. Имеются ли другие группы с этим свойством?

Первая часть решения. $Z^+$ - циклическая группа, соответственно все её подгруппы циклические (по теореме). Собственные подгруппы этой группы образуются $mZ,$ где $m$ принадлежит $Z$. ($2Z, 3Z. . .$). И доказываю изоморфизм - рассматривается гомоморфизм, сюръективность и инъективность.
С ответом на вопрос: это бесконечные циклические группы изоморфные начальной. Подскажите идеи по доказательству этого тезиса и правильный ли он?

[AV_77]

zulf в сообщении #700301 писал(а):

С ответом на вопрос: это бесконечные циклические группы изоморфные начальной. Подскажите идеи по доказательству этого тезиса и правильный ли он?

Любой элемент группы порождает некоторую циклическую подгруппу.

[zulf]

т.е. любой элемент из $Z^+$ порождает группу изоморфную начальной и обладающей таким же свойством. Но разве не надо доказывать, что кроме этого вида групп больше нет никаких?

[AV_77]

zulf в сообщении #700318 писал(а):

Но разве не надо доказывать, что кроме этого вида групп больше нет никаких?

Надо. И это идея доказательства.

[zulf]

таким образом мне надо доказать, что не существует групп, кроме указанной, которые обладают свойством

Цитата:

Любой элемент группы порождает некоторую циклическую подгруппу.

[AV_77]

Вы уже забыли, что доказываете? Вам надо доказать, что если группа $G$ изоморфна любой своей собственной подгруппе, то она изоморфна $\mathbb{Z}$.

[zulf]

AV_77, у меня выходит следующее доказательство.
Группа обладающая свойством, указанным выше, должна быть во-первых циклической, во вторых бесконечной, потому что если она конечна, то не будет изоморфна подгруппе, а если не циклическая, то подгруппа будет иметь другое строение.
Тогда условием обладания свойством является бесконечность и цикличность группы, а такие группы изоморфны $Z^+$.

[AV_77]

Ну да, все так и есть. Цикличность сразу следует из того, что группа (по условию) изоморфна любой своей циклической подгруппе.