2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение23.03.2013, 17:12 
задача из задачника Белоногова В.А. (2.16)
Доказать, что $Z^+$ имеет собственные подгруппы и изоморфна каждой из них. Имеются ли другие группы с этим свойством?

Первая часть решения. $Z^+$ - циклическая группа, соответственно все её подгруппы циклические (по теореме). Собственные подгруппы этой группы образуются $mZ,$ где $m$ принадлежит $Z$. ($2Z, 3Z. . .$). И доказываю изоморфизм - рассматривается гомоморфизм, сюръективность и инъективность.
С ответом на вопрос: это бесконечные циклические группы изоморфные начальной. Подскажите идеи по доказательству этого тезиса и правильный ли он?

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение23.03.2013, 17:24 
zulf в сообщении #700301 писал(а):
С ответом на вопрос: это бесконечные циклические группы изоморфные начальной. Подскажите идеи по доказательству этого тезиса и правильный ли он?

Любой элемент группы порождает некоторую циклическую подгруппу.

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение23.03.2013, 17:41 
т.е. любой элемент из $Z^+$ порождает группу изоморфную начальной и обладающей таким же свойством. Но разве не надо доказывать, что кроме этого вида групп больше нет никаких?

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение23.03.2013, 17:44 
zulf в сообщении #700318 писал(а):
Но разве не надо доказывать, что кроме этого вида групп больше нет никаких?

Надо. И это идея доказательства.

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение23.03.2013, 17:47 
таким образом мне надо доказать, что не существует групп, кроме указанной, которые обладают свойством
Цитата:
Любой элемент группы порождает некоторую циклическую подгруппу.

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение23.03.2013, 17:50 
Вы уже забыли, что доказываете? Вам надо доказать, что если группа $G$ изоморфна любой своей собственной подгруппе, то она изоморфна $\mathbb{Z}$.

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение25.03.2013, 09:57 
AV_77, у меня выходит следующее доказательство.
Группа обладающая свойством, указанным выше, должна быть во-первых циклической, во вторых бесконечной, потому что если она конечна, то не будет изоморфна подгруппе, а если не циклическая, то подгруппа будет иметь другое строение.
Тогда условием обладания свойством является бесконечность и цикличность группы, а такие группы изоморфны $Z^+$.

 
 
 
 Re: Задача на теорию групп. изоморфизм
Сообщение25.03.2013, 18:04 
Ну да, все так и есть. Цикличность сразу следует из того, что группа (по условию) изоморфна любой своей циклической подгруппе.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group