Рассмотрим систему с лагранжианом

--

-мерное гладкое конфигурационное многообразие. Эволюция системы задается изображающей точкой

.
Пусть

-- гиперподмногообразие (

. Многообразие

является ударной связью т.е. стенкой о которую бьется изображающая точка системы при движении по конфигурационному прострпанству. Удар будем считать абсолютно упругим т.е. выполнен вариационный принцип
И так, варировать будем в множестве кривых c закрепленными концами

.
Последнее включение означает, что

-- момент удара и

Положим

Имеем

После интегрирования по частям и с учетом формулы (*) получим


Поскольку до удара

является решением уравнений Лагранжа получим

Аналогично,

Введем обдозначения:

-- энергия системы до и после удара,

-- обобщенный импульс системы до и после удара.
Таким образом , из уравнения (**) получаем систему уравнений абсолютно упругого удара:

В случае натурального лагранжиана из этой системы однозначно находятся обобщенные скорости после удара

.
Замечание: обычно многообразие

задано уравнением

. Включение

в аналитической форме выглядит так:
