2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вариационный принцип в теории удара
Сообщение22.03.2013, 12:11 
Рассмотрим систему с лагранжианом $L(t,x,\dot x),\quad x=(x^1,\ldots, x^m)^T\in M$ -- $m$-мерное гладкое конфигурационное многообразие. Эволюция системы задается изображающей точкой $x(t)\in M$.

Пусть $N\subset M$ -- гиперподмногообразие ($\dim N=m-1)$. Многообразие $N$ является ударной связью т.е. стенкой о которую бьется изображающая точка системы при движении по конфигурационному прострпанству. Удар будем считать абсолютно упругим т.е. выполнен вариационный принцип
$$\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0.$$

И так, варировать будем в множестве кривых c закрепленными концами $q(t,\lambda),\quad |\lambda|<c,\quad q(t_i,\lambda)=q_i,\quad q(\tau(\lambda),\lambda)\in N$.

Последнее включение означает, что $\tau(\lambda)$ -- момент удара и
$$\xi(\lambda)=q_t(\tau(\lambda),\lambda)\tau'(\lambda)+q_\lambda(\tau(\lambda),\lambda)\in T_{q(\tau(\lambda),\lambda)} N.\qquad (*)$$
Положим $$x(t)=q(t,0),\quad \tau_0=\tau(0),\quad \tau'_0=\tau'(0),\quad x(\tau_0)=x_0,\quad\dot x^{\pm}=\dot x(\tau_0\pm),\quad \delta x=\xi(0).$$
Имеем
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\Big(\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt+\int^{t_2}_{\tau(\lambda)}Ldt\Big)=0.\qquad (**)$$

После интегрирования по частям и с учетом формулы (*) получим
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt=L(\tau_0,x_0,x^-)\tau'_0+\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^-) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^-\tau'_0\Big)+$$
$$+\int_{t_1}^{\tau_0}\Big(-\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t,x(t),\dot x(t))}{\partial \dot x}+\frac{\partial L(t,x(t),\dot x(t))}{\partial x}\Big) q_\lambda(t,0)dt.$$
Поскольку до удара $x(t)$ является решением уравнений Лагранжа получим
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt=L(\tau_0,x_0,x^-)\tau'_0+\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^-) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^-\tau'_0\Big).$$
Аналогично,
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int^{t_2}_{\tau(\lambda)}Ldt=-L(\tau_0,x_0,x^+)\tau'_0-\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^+) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^+\tau'_0\Big).$$

Введем обдозначения:
$$H^\pm=\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm) }{\partial\dot x}\dot x^\pm-L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm)$$ -- энергия системы до и после удара,
$$p^\pm=\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm) }{\partial\dot x}$$ -- обобщенный импульс системы до и после удара.

Таким образом , из уравнения (**) получаем систему уравнений абсолютно упругого удара:
$$H^+=H^-,\quad (p^+-p^-)\delta x=0,\quad \delta x\in T_{x_0}N.$$
В случае натурального лагранжиана из этой системы однозначно находятся обобщенные скорости после удара $\dot x^+$.

Замечание: обычно многообразие $N$ задано уравнением $f(x)=0$. Включение $\delta x\in T_{x_0}N$ в аналитической форме выглядит так:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0)\delta x=0.$$

 
 
 
 Re: Вариационный принцип в теории удара
Сообщение22.03.2013, 21:11 
Предположим теперь, что связь зависит от времени $f(t,x)=0$. Для вариаций имеем $f(\tau(\lambda),q(\tau(\lambda),\lambda))=0.$ Дифференцируя по $\lambda$ и полагая $\lambda=0$ находим
$$f_t(\tau_0,x_0)\tau_0'+f_x(\tau_0,x_0)(\dot x^\pm\tau_0'+q_\lambda(\tau_0,0))=0$$
Пусть $\xi$ какое нибудь решение уравнения $$f_t(\tau_0,x_0)+f_x(\tau_0,x_0)\xi=0,$$
а $\delta x$ -- виртуальное перемещение $f_x(\tau_0,x_0)\delta x=0$. Тогда
$q_\lambda(\tau_0,0)=\xi\tau'_0-\dot x^\pm\tau_0'+\delta x.$

Уравнения для удара приобретают вид:

$$H^+-H^-=(p^+-p^-)\xi,\quad (p^+-p^-)\delta x=0,$$
где $\xi$ -- какое-нибудь фиксированное решение уравнения $f_t(\tau_0,x_0)+f_x(\tau_0,x_0)\xi=0,$
$\delta x$ -- любое виртуальное перемещение т.е. решение уравнения $f_x(\tau_0,x_0)\delta x=0$.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group