Абстракция и декомпозиция в логике

[es3000]

Здравствуйте!
Абстракция и декомпозиция - это же ведь мыслительные логические операции над понятиями.
Как в логике можно определить операции абстракции и декомпозиции?
Назовите, пожалуйста, источники где можно про это почитать.

[Sonic86]

es3000 в сообщении #699243 писал(а):

Абстракция и декомпозиция - это же ведь мыслительные логические операции над понятиями.
Как в логике можно определить операции абстракции и декомпозиции?

Опишите декомпозицию, чтобы понятно было.
Кроме того, с чего Вы взяли, что это логические операции? Где Вы видели, что логика оперирует понятиями (она оперирует скорее с высказываниями, предикатами, рассматривает логическое следование, непротиворечивость теорий)? Хотя может быть можно и понятия как-то описать.
Абстракция далеко не факт, что является логической операцией. Абстракция может делаться, например, от описаний каких-то реальных вещей. С другой стороны, возможно более-менее внятно описать, что такое абстрактный объект, например так:

один дяденька писал писал(а):

Схема 1. Принимается определение: термином $s$ будет называться объект, который имеет признаки $P_1,...,P_n$ и не имеет признаков $Q_1,...,Q_m$, при этом признаки $Q_i$ таковы, что эмпирический объект (вообще или в данной предметной области) без них не существует. Если некоторый эмпирический объект имеет признаки $P_j$, то он имеет и признаки $Q_i$; если он не имеет какого-то признака из $Q_i$, то он не имеет и признаков $P_j$.
Схема 2. Принимается определение: термином $s$ будет называться объект, который имеет признаки $P_1,...,P_n$ и если из этого соглашения и других принятых в данной науке утверждений не следует, что $s$ имеет признак $Q_i$, то $s $не имеет этого признака. При этом $Q_i$ есть необходимый признак эмпирических объектов, т.е. если некоторый эмпирический объект имеет признаки $P_j$, то он имеет и признак $Q_i$. В данном случае объекту $s$ приписываются только определенные признаки $P_j$ и признаки, принадлежность которых объекту вытекает логически из принятых утверждений и определений. Этому определению точно так же можно придать вид системы аксиом, определяющей $s$ как первичный термин.
Объекты, обозначаемые терминами, введенными по схемам 1 и 2 называют исходными абстрактными объектами.
...
Производные абстрактные объекты суть объекты, термины которых определяются через термины исходных абстрактных объектов.

А абстракцией называть процедуру построения абстрактного объекта. Только тогда логическое исчисление должно оперировать со свойствами, я таких не видел.
В философии может и можно считать, что абстракция и декомпозиция - это же ведь мыслительные логические операции над понятиями, но в философии можно считать все что угодно.
Это не матлогика скорее всего.

[arseniiv]

Не совсем ясно, что они ели перед постулированием того, какие мыслительные операции есть, а каких нет, и что такое мыслительная операция вообще.

-- Пт мар 22, 2013 01:49:02 --

И почему переписывавшим эти постулаты они казались естественными.

[es3000]

Цитата:

Опишите декомпозицию, чтобы понятно было.

Например, стол состоит из столешницы и четырех ножек.

Цитата:

с чего Вы взяли, что это логические операции? Где Вы видели, что логика оперирует понятиями

А какая же тогда наука оперирует понятиями?
Ведь есть правила построения понятий на основании других понятий. И абстракция - это одна из операций для создания новых понятий путем "отбрасывания" несущественных свойств.
По идее это тоже может быть формализовано в логических операциях. Хотя я не уверен.

Поэтому и написал сюда вопрос.

-- 21.03.2013, 23:57 --

Вот нашел:

Цитата:

Формальнологическую проблематику, связанную с теорией понятия, можно изложить, опираясь на хорошо разработанный аппарат исчисления предикатов (см. Логика предикатов). Семантика этого исчисления такова, что им легко описывается субъектно-предикатная структура суждений, рассматривавшихся в традиционной логике (субъект, то есть подлежащее, — то, о чём говорится в предложении, выражающем данное суждение; предикат, то есть сказуемое, — то, что говорится о субъекте), при этом возможны далеко идущие, хотя и вполне естественные, обобщения. Прежде всего допускается (как и в обычной грамматике) более одного субъекта в предложении, причём (в отличие от грамматических канонов) роль субъектов играют не только подлежащие, но и дополнения — «объекты»; в роли предикатов фигурируют не только собственно сказуемые (в том числе выраженные многоместными предикатами, описывающими отношения между несколькими субъектами), но и определения. Обстоятельства и обстоятельственные обороты в зависимости от их грамматического строения всегда можно отнести к одной из этих двух групп (субъекты и предикаты), а пересмотр всего словарного запаса любого языка, «мобилизуемого» на выражение понятия, показывает, что он весь распределяется на эти две категории (количественные числительные, а также слова типа «всякий», «любой», «некоторый», «существует» и т. п., не попавшие в это распределение на два класса, играют в естественном языке роль кванторов, позволяющих образовывать и отличать друг от друга общие, частные и единичные суждения). При этом субъекты (выражаемые посредством т. н. термов языков, основанных на исчислении предикатов) и предикаты выступают как имена понятий: вторые самым буквальным образом, а первые, будучи переменными, «пробегают» некоторые «предметные области», служащие объёмами понятий, и если они постоянные (константы), то являются именами собственными, обозначающими конкретные предметы из этих предметных областей. Т. о., предикаты — это содержания понятий, а классы объектов, на которых эти предикаты истинны, — объёмы; что касается термов, то они являются либо родовыми именами для произвольных «представителей» некоторых понятий, либо именами конкретных представителей. Иными словами, вся формальнологическая проблематика, связанная с теорией понятия, оказывается фрагментом исчисления предикатов. Так, закон обратного отношения оказывается перефразировкой тавтологии (тождественно-истинной формулы) логики высказываний $А \& В \to A$ (здесь $\&$ — знак конъюнкции, $\to$ — знак импликации) или её обобщения из логики предикатов $\forall x C (x)\to C(x)$($\forall$ — квантор всеобщности).

Выборка из этого:

Цитата:

При этом субъекты (выражаемые посредством т. н. термов языков, основанных на исчислении предикатов) и предикаты выступают как имена понятий

-- 22.03.2013, 00:00 --

И еще:

Цитата:

Понятие в теории решения задач

Теория решения задач — теоретический раздел исследований по искусственному интеллекту — предлагает достаточно математически строгую и в то же время наглядную трактовку термина «понятие». Полное математически строгое описание можно найти в монографии Бенерджи[10]

Можно дать менее строгое, но более лаконичное описание таким образом:

Понятия образуются на основании свойств.
Существует два основных класса свойств — внутренние и внешние. Внешние свойства выявляются непосредственно, их существование постулируется, вопрос об их происхождении не ставится. Внутренние свойства являются ненаблюдаемой непосредственно логической функцией внешних свойств.
При решении задач используются преимущественно внутренние свойства. Использование это состоит в том, что в зависимости от значения свойства выбирается та или иная операция, ведущая к решению задачи.
Понятие в традиционном его понимании — это особый вид внутренних свойств, получаемых в результате логической конъюнкции (логическое И) внешних свойств.
Любое внутреннее свойство можно представить в виде дизъюнкции (логическое ИЛИ) понятий.

В такой трактовке закон обратного отношения действительно оказывается тривиальным следствием определения и одного из законов поглощения $A\&B\to A$. Стоит заметить, что закон обратного отношения не имеет места для произвольного свойства.

Бенерджи рассматривает модель задач, в которой задано некоторое множество ситуаций и множество преобразований (операций) одной ситуации в другую. Выделено также подмножество ситуаций, являющихся целью решения. «При этом мы стремимся перевести данную ситуацию в другую допустимую ситуацию, применяя последовательность преобразований, чтобы в конце прийти к целевой ситуации»[11] Понятия в модели Бенерджи применяются для описания как целевого подмножества, так и стратегии выбора преобразований.

Понятия по Бенерджи логично было бы называть «протопонятиями», так как в общенаучном смысле понятия выделяются и фиксируются с помощью термина в ходе решения широкого класса однородных задач, в которых их применение оказалось полезным.

[epros]

es3000 в сообщении #699585 писал(а):

Цитата:

Опишите декомпозицию, чтобы понятно было.

Например, стол состоит из столешницы и четырех ножек.

В исчислении предикатов это выражается двухместным отношением «состоит из» (или «является частью»).

es3000 в сообщении #699585 писал(а):

Цитата:

с чего Вы взяли, что это логические операции? Где Вы видели, что логика оперирует понятиями

А какая же тогда наука оперирует понятиями?
Ведь есть правила построения понятий на основании других понятий. И абстракция - это одна из операций для создания новых понятий путем "отбрасывания" несущественных свойств.
По идее это тоже может быть формализовано в логических операциях. Хотя я не уверен.

Понятия употребляются в любом языке. Если под «логикой» конкретно понимать исчисление предикатов, то оно представляет собой нечто вроде «заготовки» языка: его можно доопределить любым количеством понятий и получить достаточно богатый язык.

[es3000]

epros писал(а):

В исчислении предикатов это выражается двухместным отношением «состоит из» (или «является частью»).

А как отношения выражаются в логике?
Ножка ведь может и не быть частью стола, а может лежать рядом открученная.
Какая операция в логике говорит о том, что только скрученные вместе ножки и столешница являются столом?

epros в сообщении #699694 писал(а):

Понятия употребляются в любом языке. Если под «логикой» конкретно понимать исчисление предикатов, то оно представляет собой нечто вроде «заготовки» языка: его можно доопределить любым количеством понятий и получить достаточно богатый язык.

Правильно.
Ну вот мы формируем новое понятие "стол" из других понятий "ножки" и "столешница". Это же логическая операция.
Как она в формальной логике выглядит?

Получается более точный мой вопрос такой:
При помощи какого формального языка можно формировать новые понятия, используя процедуры абстракции и декомпозиции?
Задавая первый вопрос, я считал, что это логика.

[epros]

es3000 в сообщении #699862 писал(а):

А как отношения выражаются в логике?

Я же сказал: Предикатным символом. Двухместное отношение — предикат с двумя аргументами, одноместное отношение (их иногда называют свойствами) — с одним аргументом.

es3000 в сообщении #699862 писал(а):

Ножка ведь может и не быть частью стола, а может лежать рядом открученная.

Определите другой предикат: «лежит рядом с».

es3000 в сообщении #699862 писал(а):

Какая операция в логике говорит о том, что только скрученные вместе ножки и столешница являются столом?

Это не в логике, а в описании конкретной предметной области. Логика ведь «не знает» из чего состоят столы и сколько у них ножек. Это знание приходится дополнительно записывать специальными аксиомами.

es3000 в сообщении #699862 писал(а):

Ну вот мы формируем новое понятие "стол" из других понятий "ножки" и "столешница". Это же логическая операция.
Как она в формальной логике выглядит?

Как совокупность аксиом, иначе говоря — теория. Нужно понимать, что «понятие» состоит из «термина» и «определения». Введя в язык слово «стол», Вы добавили только термин (в исчислении предикатов это соответствует добавлению в язык одноместного предикатного символа). Далее дело за аксиомами, которые и определяют, что такое этот «стол» и как он связан с другими понятиями.

es3000 в сообщении #699862 писал(а):

Получается более точный мой вопрос такой:
При помощи какого формального языка можно формировать новые понятия, используя процедуры абстракции и декомпозиции?
Задавая первый вопрос, я считал, что это логика.

Логика — это набор правил манипулирования утверждениями. Логики могут быть разными. Одна из возможных логик, достаточно широко применяемых в математике, это классическое исчисление предикатов первого порядка.

[Sonic86]

es3000 в сообщении #699585 писал(а):

Цитата:

Опишите декомпозицию, чтобы понятно было.

Например, стол состоит из столешницы и четырех ножек.

Есть построение терминов, но это вряд ли то, что Вы ищете. Вообще, по такому описанию мало понятно, что именно является декомпозицией, а что - нет. Например, комплексное число представляется через действительную и мнимую часть, а может представляться через модуль или аргумент. Эти разложения являются результатом декомпозиции или нет?
Человека можно "разложить" на человека до 30 лет и после 30 лет. Это "разложение" - декомпозиция?

es3000 в сообщении #699585 писал(а):

Формальнологическую проблематику, связанную с теорией понятия, можно изложить, опираясь на хорошо разработанный аппарат исчисления предикатов (см. Логика предикатов). Семантика этого исчисления такова, что им легко описывается субъектно-предикатная структура суждений, рассматривавшихся в традиционной логике (субъект, то есть подлежащее, — то, о чём говорится в предложении, выражающем данное суждение; предикат, то есть сказуемое, — то, что говорится о субъекте), при этом возможны далеко идущие, хотя и вполне естественные, обобщения. Прежде всего допускается (как и в обычной грамматике) более одного субъекта в предложении, причём (в отличие от грамматических канонов) роль субъектов играют не только подлежащие, но и дополнения — «объекты»; в роли предикатов фигурируют не только собственно сказуемые (в том числе выраженные многоместными предикатами, описывающими отношения между несколькими субъектами), но и определения. Обстоятельства и обстоятельственные обороты в зависимости от их грамматического строения всегда можно отнести к одной из этих двух групп (субъекты и предикаты), а пересмотр всего словарного запаса любого языка, «мобилизуемого» на выражение понятия, показывает, что он весь распределяется на эти две категории (количественные числительные, а также слова типа «всякий», «любой», «некоторый», «существует» и т. п., не попавшие в это распределение на два класса, играют в естественном языке роль кванторов, позволяющих образовывать и отличать друг от друга общие, частные и единичные суждения).

Тут про понятия просто ничего нет.

es3000 в сообщении #699585 писал(а):

При этом субъекты (выражаемые посредством т. н. термов языков, основанных на исчислении предикатов) и предикаты выступают как имена понятий: вторые самым буквальным образом, а первые, будучи переменными, «пробегают» некоторые «предметные области», служащие объёмами понятий, и если они постоянные (константы), то являются именами собственными, обозначающими конкретные предметы из этих предметных областей. Т. о., предикаты — это содержания понятий, а классы объектов, на которых эти предикаты истинны, — объёмы; что касается термов, то они являются либо родовыми именами для произвольных «представителей» некоторых понятий, либо именами конкретных представителей. Иными словами, вся формальнологическая проблематика, связанная с теорией понятия, оказывается фрагментом исчисления предикатов.

Если это то, что Вы ищете, то я тогда не понял вопрос, хотелось бы более точной и полной формулировки. Проблематика с теорией понятия вряд ли является фрагментом ИП. М.б. ее некоторый ее фрагмент - это фрагмент ИП - так соглашусь. Если я правильно понимаю, то теория понятий должна опираться на теорию определений - я последней не видел, хотя м.б. ее в общем виде можно в ИП описать.
Далее, если у Вас субъекты и предикаты - имена понятий, то у Вас множество понятий фиксировано и не изменяется. Т.е. строить новые понятия Вы не сможете.
С другой стороны, понятия можно строить исходя из введенных понятий. Например, $x$ - квадрат тогда и только тогда, когда $x$ - прямоугольник и $x$ - параллелограмм, т.е. $R(x)\leftrightarrow P(x)\& Q(x)$. Если Вы будете только в математике работать, в аксиоматической теории множеств, то таким образом Вы там можете настроить много понятий. Однако, до понятия "идеальный газ" Вы не дойдете. А чисто из самого ИП Вы не дойдете до определения понятия "натуральное число".

Вообще, Вы исчисление предикатов видели? Оно Вас устраивает, да, нет? Почему?

es3000 в сообщении #699585 писал(а):

Понятие в теории решения задач

Теория решения задач — теоретический раздел исследований по искусственному интеллекту — предлагает достаточно математически строгую и в то же время наглядную трактовку термина «понятие». Полное математически строгое описание можно найти в монографии Бенерджи[10]

А, ну если Вы про исследования по ИИ - вполне возможно, что там какие-то исчисления есть, которых нет в учебниках.

[es3000]

А существуют ли какие-нибудь диаграммы типа кругов Эйлера, только чтобы они изображали понятия и связи между ними?

[Sonic86]

es3000 в сообщении #699992 писал(а):

А существуют ли какие-нибудь диаграммы типа кругов Эйлера, только чтобы они изображали понятия и связи между ними?

А какие связи вообще могут быть между понятиями? Таковых скорее всего очень много.
Вообще, даже не очень понятно, что такое "понятие". Давайте на примере математики. $1$ (натуральное число) - это понятие? $\{1\}$ - понятие? Сумма чисел или произведение чисел - это понятие?

[es3000]

Sonic86 в сообщении #700000 писал(а):

А какие связи вообще могут быть между понятиями? Таковых скорее всего очень много.
Вообще, даже не очень понятно, что такое "понятие". Давайте на примере математики. $1$ (натуральное число) - это понятие? $\{1\}$ - понятие? Сумма чисел или произведение чисел - это понятие?

думаю, что да, это понятия

[Sonic86]

(Оффтоп)

es3000 в сообщении #700005 писал(а):

думаю, что да, это понятия

Хм, а я думал нет

А есть ли термин, обозначающий предмет, не являющийся понятием? Можете пример привести? (т.е. понятно, что любое понятие - это термин. Обратное должно быть неверно, иначе зачем нам лишнее слово?)

[arseniiv]

Есть подход представлять понятие классом вещей, которые являются «экземплярами» этого понятия. Тогда можно производить теоретико-множественные операции. Только они неинтересные. В самом деле, часто нам приходится иметь дело со столами-стульями и зонтиками не синего или оранжевого цвета?

Да, надо сначала определиться, что такое «понятие».

[Sonic86]

arseniiv в сообщении #700026 писал(а):

Только они неинтересные. В самом деле, часто нам приходится иметь дело со столами-стульями и зонтиками не синего или оранжевого цвета?

Ага

arseniiv в сообщении #700026 писал(а):

Да, надо сначала определиться, что такое «понятие».

Можно так сделать:
Пусть есть некоторая теория об объектах из множества $M$. Заданы аксиомы теории, в которой заданы основные предикаты. Тогда говорим, что $C$ - понятие, если $C$ биективно соответствует некоторый $n$-местный предикат $P_C(x_1,...,x_n)$ на множестве $M^n$. И тогда в теории можно строить производные понятия через базовые понятия и логические связки.
Например, $C=\text{четное}$, $P_C(x)\leftrightarrow[2\mid x]\leftrightarrow (\exists y) 2y=x$ - здесь мы выразили новое понятие "четное" через отношение делимости или через умножение целых чисел с логическими связками.
И тогда действительно получается, что на вопрос

es3000 в сообщении #699992 писал(а):

А существуют ли какие-нибудь диаграммы типа кругов Эйлера, только чтобы они изображали понятия и связи между ними?

действительно надо отвечать

Sonic86 в сообщении #700000 писал(а):

А какие связи вообще могут быть между понятиями? Таковых скорее всего очень много.

Конечно, если ограничится исчислением высказываний со связками $\&$ и $\neg$, то можно выразить связь между понятиями цветными стрелочками, а множество понятий будет иметь вид ориентированного графа (но это будет не очень понятно выглядеть). Т.е. например, между понятиями $A,B$ рисуем красную стрелку $A\to B$, если $B=\neg A$, и рисуем сдвоенную зеленую стрелку $A,B\to C$ между понятиями $A,B,C$, если $C=A\& B$.
Т.е. рисовать можно, только выглядит сложно. Чем больше базовых отношений между понятиями и чем больше самих понятий, тем сложнее будет выглядеть орграф.

upd: Есть еще следующие чисто логические отношения между такими понятиями, сводимые к отношениям между предикатами. Если $P(x_1,...,x_n)$ - предикат, то $K(x_1)...K(x_n)P(x_1,...,x_n)$ - новый предикат, где $K(x_j)$ обозначает либо $(\forall x_j)$, либо $(\exists x_j)$, либо пустую строку. В результате из одного $n$-местного предиката довешиванием (или недовешиванием) разных кванторов можно построить $3^n$ других предикатов, каждому из которых будет соответствовать свое понятие. Представить это графически я даже затрудняюсь (нечто посложнее $n$-мерного куба).
С другой стороны, выполнить обратное действие - обобщить $k$-местный предикат до $k+m$-местного чисто логически нельзя - нужно знать еще и свойства языка.

[epros]

es3000 в сообщении #699992 писал(а):

А существуют ли какие-нибудь диаграммы типа кругов Эйлера, только чтобы они изображали понятия и связи между ними?

Кругами Эйлера удобно обозначать теоретико-множественные отношения между понятиями: пересечения, объединения, подмножества и т.п. Более сложные отношения так обозначать неудобно. Удобнее — семантическими сетями.

Sonic86 в сообщении #700007 писал(а):

А есть ли термин, обозначающий предмет, не являющийся понятием? Можете пример привести? (т.е. понятно, что любое понятие - это термин. Обратное должно быть неверно, иначе зачем нам лишнее слово?)

Термин — это не понятие, это всего лишь слово (имя понятия). А понятие — это слово + его смысл. Понятия могут обозначать не только «предметы», но и действия, и свойства, и много что ещё. Хотя это имеет значение только для естественного языка, при формализации все эти различия могут быть несущественными.

Sonic86 в сообщении #700129 писал(а):

Конечно, если ограничится исчислением высказываний со связками $\&$ и $\neg$, то можно выразить связь между понятиями цветными стрелочками, а множество понятий будет иметь вид ориентированного графа (но это будет не очень понятно выглядеть).

Исчисление высказываний — неудачный пример, ибо оно манипулирует целиком высказываниями, отдельные понятия внутри которых не выделяются и не анализируются.