(ко)гомология

[xmaister]

Пытаюсь разобраться в определении гомологии (снова). Мы рассматриваем топологическое пространство $X$ и произвольный $n$-симплекс $\Delta^n =[0,1,2,\ldots n]$. По определению сингулярный $n$-симплекс- это множество $\Sigma^n=\{\sigma|\sigma:\Delta^n\to X\}$. Рассмотрев произвольное коммутативное кольцо $R$ с единицей мы строим $R$-модуль $C_n(X)$ формальных конечных сумм $\sum\limits_i a_i\sigma_i$ с понятно какими операциями. Дальше рассматриваем отображение $\partial:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$, такое что $\partial_n (\sigma )=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\sigma\langle i\rangle$. Дальше доказывается лемма Пуанкаре $\partial_{n-1}\partial_n =0$. Это понятно откуда следует, там поубивается. Т.е. имеем компекс $R$-модулей и $H_n(X)=(\mathrm{Ker}\partial_n)/(\mathrm{Im}\partial_{n-1})$. Собственно, непонянтно, зачем эта аксиоматическая теория гомологий? Зачем нужно определять гомологию пары $(X,A)$? Гомология пары определена только если $A\subset X$? Когда мы рассматриваем аксиоматическую теорию гомологий, мы имеем дело со счетным числом фунторов гомологий и теорема единсвенности доказывает единственность для каждого $n$?

[xmaister]

Вот еще что не понятно. Известно что $H_n(\mathbb{S}^n)=\mathbb{Z}$. Формально мы должны рассмотреть комплекс $R$-модулей $C_n(\mathbb{S}^n)$. Как выбирать тут это $R$?

[Munin]

Есть симплициальные и сингулярные гомологии - вы про них в первом сообщении. А сфера - это уже не симплекс и не симплициальный комплекс, так что тут уже другие гомологии (кажется, Де Рама, хотя я не уверен). В качестве $R$ просто берётся $\mathbb{Z},$ если я не путаю.

Я гомологии понимаю как "закодированную в алгебре" информацию о том, сколько у многообразия всяких дырок, ручек (циклов), перекрученностей и прочего. Эта общая геометрическая идея не выражается в конкретной аксиоматической теории. Конкретные аксиоматические теории (симплициальные, сингулярные и другие гомологии) её только иллюстрируют, а охватить их одним взглядом получается только через категории.

Дальше уже вводятся понятия относительной гомологии, точные последовательности, когомологии - это уже развитие этого понятийного аппарата. Оказывается, что он полезен и сам по себе, а не только на геометрическом материале.

[xmaister]

Сингулярные гомологии. Насколько я знаю, сингулярные гомологии для симплициальных комплексов и симплициальные гомологии эквивалентны. Только вот не понимаю, что мешает конструкцию, что в первом сообщении распространить на сферу? О топологическом пространстве нас интересуют лишь информация, какие отображения $n$-мерного симплекса в $X$ будут непрерывными.

Munin в сообщении #698737 писал(а):

Я гомологии понимаю как "закодированную в алгебре" информацию о том, сколько у многообразия всяких дырок, ручек (циклов), перекрученностей и прочего.

Как в такой абстрактной алгебраической конструкций можно усмотреть какую-то геометрическую информацию? Я понял, что рассматривая гомологический функтор можно решать вопрос о не ретрагируемости чего-то на чего-то.
И все же, зачем нужна гомология пары $(X,A)$, где $A\subset X$? В смысле понятно, что рассматривается гомология комплекса $R$-модулей $C_n(X)/C_n(A)$. Я не понимаю смысла, за исключением формального представления.

[Munin]

xmaister в сообщении #698825 писал(а):

Сингулярные гомологии. Насколько я знаю, сингулярные гомологии для симплициальных комплексов и симплициальные гомологии эквивалентны. Только вот не понимаю, что мешает конструкцию, что в первом сообщении распространить на сферу?

Тут есть два варианта.
1) Если мы изображаем симплексы плоскими треугольниками. Очевидно, сфера неплоская.
2) Если мы изображаем симплексы как-угодно-гнутыми треугольниками. Тогда ничего не мешает. Но. Покрыв сферу треугольными лоскутами, мы можем это сделать только с одной заданной сферой - а не с произвольной сферой в $\mathbb{R}^n.$

xmaister в сообщении #698825 писал(а):

Как в такой абстрактной алгебраической конструкций можно усмотреть какую-то геометрическую информацию?

Для этого надо прорешать кучу задач на тему "вот дана такая-то геометрическая фигня, посчитать её гомологии". Для диска, сферы, тора, ленты Мёбиуса, бутылки Лейдена и т. п.

Потом обнаружить, что вообще-то этой алгебраической конструкции геометрическая "подложка" и не нужна.

xmaister в сообщении #698825 писал(а):

И все же, зачем нужна гомология пары?

Я так понимаю - для построения точной последовательности таких гомологий. Что, неожиданно, оказывается интересной вещью и само по себе.

xmaister в сообщении #698825 писал(а):

Я не понимаю смысла, за исключением формального представления.

Представьте себе, что вы разрезали пространство на две части. Одну из них вы назвали подпространством. Теперь вы рассматриваете не только циклы, замкнутые в колечко сами по себе (абсолютные циклы), но и циклы, уходящие "концами" в это подпространство (относительные циклы). В надежде, что они там замкнуты. А те циклы, которые целиком лежат в подпространстве, для вас гомологичны нулю.

[apriv]

Munin в сообщении #698737 писал(а):

Есть симплициальные и сингулярные гомологии - вы про них в первом сообщении. А сфера - это уже не симплекс и не симплициальный комплекс, так что тут уже другие гомологии (кажется, Де Рама, хотя я не уверен).

И что? Никто не мешает рассматривать сингулярные гомологии сферы, то есть, строить комплекс из морфизмов $\Delta^n\to S$, где $\Delta^n$ — геометрическая реализация симплекса.
Если пространство хорошее, то, например, когомологии де Рама, сингулярные, и всякие другие, совпадают с обычными — когомологиями постоянного пучка.

[xmaister]

У нас есть комплекс $R$-модулей $(\mathcal{C},d)$ и гомология- сопоставляет $\mathbb{Z}$-градуированный модуль каждому комплексу. Попытаюсь понять, почему гомология- функтор из категории комплексов в категорию $\mathbb{Z}$-градуированных модулей. Т.е. диаграмма

$$\xymatrix{C_i\ar[d]^{d_i}\ar[r]^{f_{i}}&C_{i+r}'\ar[d]_{d_i'}\\C_{i+1}\ar[r]^{f_{i+1}}&C_{i+1+r}'}$$

коммутативна. Пусть есть два комплекса $(\mathcal{C},d)$ и $(\mathcal{C}',d')$ и $f:\mathcal{C}\to\mathcal{C}'$- морфизм произвольной степени $n$. Рассмотрим $i$-ю группу гомологий $H_i(\mathcal{C})=\mathrm{Ker}\ d_i/\mathrm{Im}\ d_{i-1}$. Каноническое отображение $\theta: H_i\to H_{i+r}$ корректно определно из-за коммутативности диаграммы. Т.е. имеем $\mathbb{Z}$-градуированный гомоморфизм степени $n$ модулей $H(\mathcal{C})$ и $H(\mathcal{C}')$. Вот и функториальность.

apriv в сообщении #698981 писал(а):

когомологиями постоянного пучка

Кто такие? А можно ли привести пример гомоморфизма $f$ комплексов $(\mathcal{C},d)$ и $(\mathcal{C}',d')$, такой что $f:C_i\to C_{i+k}$- сюръективно, а индуцированный гомоморфизм $i$-й группы гомологий не сюръективно.

[Munin]

apriv
Ну наконец-то вы появились.

[alcoholist]

xmaister в сообщении #698513 писал(а):

По определению сингулярный $n$-симплекс- это множество $\Sigma^n=\{\sigma|\sigma:\Delta^n\to X\}$

Сингулярный симплекс -- это отображение

xmaister в сообщении #698513 писал(а):

Дальше доказывается лемма Пуанкаре $\partial_{n-1}\partial_n =0$

Это не лемма Пуанкаре (которая про наоборот), это просто следствие определения

xmaister в сообщении #698513 писал(а):

Собственно, непонянтно, зачем эта аксиоматическая теория гомологий?

Это как раз самая что ни на есть конструктивная теория

xmaister в сообщении #698614 писал(а):

Известно что $H_n(\mathbb{S}^n)=\mathbb{Z}$

Нет. $H_n(\mathbb{S}^n)\simeq R$ ($R$ -- аддитивная группа кольца... и не равно, а изоморфно), поэтому как выберетеэто $R$,

xmaister в сообщении #698614 писал(а):

Как выбирать тут это $R$?

то и получите.

Munin в сообщении #698737 писал(а):

А сфера - это уже не симплекс и не симплициальный комплекс

сфера гомеоморфна симплициальному комплексу -- ее симплициальные гомологии через этот комплекс и определяются (с доказательством независимости от выбора комплекса и гомеоморфизма)

xmaister в сообщении #698825 писал(а):

И все же, зачем нужна гомология пары $(X,A)$, где $A\subset X$?

$H_k(X,A)\simeq H_k(X/A)$ ($k>0$), где $X/A$ -- факторизация

xmaister в сообщении #699098 писал(а):

У нас есть комплекс $R$-модулей $(\mathcal{C},d)$ и гомология- сопоставляет $\mathbb{Z}$-градуированный модуль каждому комплексу. Попытаюсь понять, почему гомология- функтор из категории комплексов в категорию $\mathbb{Z}$-градуированных модулей.

Ничего не понял(((

-- Чт мар 21, 2013 12:03:41 --

xmaister в сообщении #699098 писал(а):

У нас есть комплекс $R$-модулей $(\mathcal{C},d)$ и гомология- сопоставляет $\mathbb{Z}$-градуированный модуль каждому комплексу.

Цепной комплекс -- это тоже градуированный модуль (хотя здесь уместней говорить о прямой сумме модулей)

[xmaister]

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

Сингулярный симплекс -- это отображение

Да, моя очепятка

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

Это не лемма Пуанкаре (которая про наоборот), это просто следствие определения

Не понял. Определяется $R$-модуль $C_n(X)$ и $\partial_{n-1}\circ\partial_{n}=0$ говорит, что $\{C_n(X),\partial_n\}$- комплекс $R$-модулей, что еще надо для определения гомологии?

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

$H_k(X,A)\simeq H_k(X/A)$ ($k>0$), где $X/A$ -- факторизация

Т.е. это просто такое обозначение?

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

Ничего не понял(((

Гомология сопоставляет каждому комплексу градуированный $\mathbb{Z}$-модуль и, если рассмотреть 2 комплекса и морфизм эти двух комплексов, то у их гомологий можно рассмотреть канонический морфизм

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

Цепной комплекс -- это тоже градуированный модуль (хотя здесь уместней говорить о прямой сумме модулей)

Может градуированный модуль и морфизм этого модуля в себя степени 1? И почему уместней говорить о прямой сумме модулей? У градуированных модулей морфизмы же определены немного по другому.

-- 21.03.2013, 13:58 --

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

Нет. $H_n(\mathbb{S}^n)\simeq R$ ($R$ -- аддитивная группа кольца... и не равно, а изоморфно), поэтому как выберетеэто $R$,

От оно как... Т.е. под $H_n(\mathbb{S}^n)$ подразумевается $H_n(\mathbb{S}^n;\mathbb{Z})$.

[Munin]

alcoholist в сообщении #699194 писал(а):

сфера гомеоморфна симплициальному комплексу

Да, конечно. Просто полдня в теме я один был...

[xmaister]

Попробую вычислить группу $H_n(\mathbb{R};R)$ используя данную конструкцию. $C_0(\mathbb{R};R)=\{\sum\limits_imt|m\in R,t\in\mathbb{R}\}$, $C_n(\mathbb{R};R)=\{\sum\limits_im(a,b)|a,b\in\mathbb{R},m\in R\},n\ge 1$, тогда имеем $\partial_1(C_1(\mathbb{R},R))=C_0(\mathbb{R};R)$. Тогда $\partial_n=\mathrm{id}_{C_n(\mathbb{R};R)},n>1$, значит $H_n(\mathbb{R};R)=\{e\}$ для всех $n\ge 0$. Это правильно?

[Munin]

Думаю, да. А вычислите теперь для $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ и для $\{0,1\},$ и сравните их. Ещё потом для $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ и для $S^1,$ и тоже сравните.

[xmaister]

Все же я прокололся. Это

xmaister в сообщении #699321 писал(а):

$C_n(\mathbb{R};R)=\{\sum\limits_im(a,b)|a,b\in\mathbb{R},m\in R\},n\ge 1$

не так. Тут надо найти все непрерывные отображение отрезка $[a,b]$ на себя, а я рассматривал только тождественное и тогда я найду $2$-цепь.

[Nimza]

Что-то я не особо понял к чему Вы сейчас пришли. Если вы ищете множества сингулярных $n$-мерных цепей, то это множества формальных сумм

$$ C_{n}(\mathbb{R},R) = \left\{ \sum_{i} m_i \tau^{n}_{i} \mid m_i \in R \right\}, $$

где $\tau^{n}_{i}$ это сингулярные $n$-симплексы, то есть непрерывные отображения стандартного $n$-симплекса в $\mathbb{R}$ (так как вы ищете цепи в $\mathbb{R}$) и лишь конечное число слагаемых ненулевые.

xmaister в сообщении #699349 писал(а):

Тут надо найти все непрерывные отображение отрезка на себя

Зачем?