Независимость над рациональными числами

[Chernoknizhnik]

Помогите, пожалуйста, доказать, что числа $p_1^\frac{m_1}{n_1}, p_2^\frac{m_2}{n_2}...$, где $p_i$ - простые числа, $n_i\ne0$,$m_i$ - целые числа, линейно независимы над $\mathbb Q$ или даже то, что конечная сумма $q_1p_1^\frac{m_1}{n_1}+q_2p_2^\frac{m_2}{n_2}+...$ ($q_i$ - ненулевые рациональные числа) - иррациональное число.
Может быть это какая-нибудь известная теорема или это вообще не верно!?

[nnosipov]

А что Вы понимаете под $p_1^{m_1/n_1}$? Только вещественное значение или комплексные значения тоже допускаются?

[Chernoknizhnik]

я имею в виду только вещественные числа.

[nnosipov]

Тогда попроще. Попарно не пропорциональные вещественные радикалы линейно независимы над $\mathbb{Q}$. Это можно вывести из следующей теоремы: если $\rho_1,\dots,\rho_s$ --- мультипликативно независимые радикалы над $\mathbb{Q}$ степени $n_1,\dots,n_s$ соответственно, то $[\mathbb{Q}(\rho_1,\dots,\rho_s):\mathbb{Q}]=n_1\ldots n_s$. По-моему, это какой-то фольклор, но при желании можно найти и ссылки на статьи, где эта теорема в том или ином виде есть. Рекомендую попробовать доказать самостоятельно.

[Chernoknizhnik]

А что такое мультипликативная независимость? Это когда произведения целых степеней, не все из которых нули, не равны единице?

-- 21.03.2013, 17:54 --

Большое спасибо!