помогите доказать независимость системы

[voipp]

Дана последовательность $\sin(x), \sin(2x),...,\sin(nx)$. Доказать , что линейно независимая. Предлагают взять 2 производную и методом индукции доказать.
$S_{k}=l_{1}\sin(x)+4l_{2}\sin(2x)+...+k^2l_{k}\sin(kx)$
для $k=2$ доказано, пусть доказано для $k=m$, надо доказать для $k=m+1$. Если я верно рассуждал, то не знаю что делать дальше!

И вот еще одна $1,\sin(x),\sin^2(x),...,\sin^n(x)$. Необходимо решить, используя матрицу Вандермонда, а дальше то что!

[AV_77]

Для $k = 2$ вы как доказывали?

[voipp]

AV_77 в сообщении #697647 писал(а):

Для $k = 2$ вы как доказывали?

Записал матрицу Вронского , ее определитель равен $-8sin^3(x)$. Во всех точках кроме $x=\pi k$ он не вырожден(система независимая). А в этой точке система всегда независимая.

[AV_77]

Мда... для практики для $k = 2$, как и советуют, возьмите вторую производную. После этого будет видно как надо действовать в общем случае.

[voipp]

не правильно рассуждал с самого начала.Не надо составлять сумму 2х производных. Если составить матрицу Вронского , то для первых двух элементов она не вырождена. Дальше все равно не получается=(

[voipp]

Люди ну помогите решить эту $ху****$. Я устал уже

[ewert]

Ну докажите, например, её ортогональность на отрезке $[0;\pi]$. А из ортогональности автоматически следует линейная независимость.

Или докажите линейную независимость не только синусов, но и соответствующих косинусов с добавленной тождественной единичкой. Такая система обратимо сводится к системе комплексных экспонент, для которых насчёт вронскиана всё очевидно.

[voipp]

ewert в сообщении #699004 писал(а):

Ну докажите, например, её ортогональность на отрезке $[0;\pi]$. А из ортогональности автоматически следует линейная независимость.

Или докажите линейную независимость не только синусов, но и соответствующих косинусов с добавленной тождественной единичкой. Такая система обратимо сводится к системе комплексных экспонент, для которых насчёт вронскиана всё очевидно.

скалярное произведение брать в гильбертовом пр-ве как интеграл по бесконечности от произведения ф-ций ?
уже забыл функан =\
спасибо за помощь

[ewert]

voipp в сообщении #699018 писал(а):

уже забыл функан =\

Ну если Вы к этому моменту успели функан уже забыть -- то бог в помощь его вспомнить. Ибо в этой ситуации это -- самый простой способ доказательства.

[AV_77]

О боже. Здесь кроме индукции ничего не надо. Куда уж проще.

[voipp]

AV_77 в сообщении #699051 писал(а):

О боже. Здесь кроме индукции ничего не надо. Куда уж проще.

давно бы уже в таком случае показали бы это!

[AV_77]

Ну так вы начните делать. Предположите, что для некоторых коэффициентов линейная комбинация равна нулю. Запишите эту комбинацию и продифференцируйте два раза. А там посмотрим.