2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 помогите доказать независимость системы
Сообщение18.03.2013, 15:25 


13/12/09
122
МАИ прикладная математика
Дана последовательность $\sin(x), \sin(2x),...,\sin(nx)$. Доказать , что линейно независимая. Предлагают взять 2 производную и методом индукции доказать.
$S_{k}=l_{1}\sin(x)+4l_{2}\sin(2x)+...+k^2l_{k}\sin(kx)$
для $k=2$ доказано, пусть доказано для $k=m$, надо доказать для $k=m+1$. Если я верно рассуждал, то не знаю что делать дальше!

И вот еще одна $1,\sin(x),\sin^2(x),...,\sin^n(x)$. Необходимо решить, используя матрицу Вандермонда, а дальше то что! :evil:

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение18.03.2013, 16:51 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Для $k = 2$ вы как доказывали?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение18.03.2013, 21:21 


13/12/09
122
МАИ прикладная математика
AV_77 в сообщении #697647 писал(а):
Для $k = 2$ вы как доказывали?


Записал матрицу Вронского , ее определитель равен $-8sin^3(x)$. Во всех точках кроме $x=\pi k$ он не вырожден(система независимая). А в этой точке система всегда независимая.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение18.03.2013, 21:46 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Мда... для практики для $k = 2$, как и советуют, возьмите вторую производную. После этого будет видно как надо действовать в общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение18.03.2013, 22:33 


13/12/09
122
МАИ прикладная математика
:facepalm: не правильно рассуждал с самого начала.Не надо составлять сумму 2х производных. Если составить матрицу Вронского , то для первых двух элементов она не вырождена. Дальше все равно не получается=(

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение20.03.2013, 20:01 


13/12/09
122
МАИ прикладная математика
Люди ну помогите решить эту $ху****$. Я устал уже

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение20.03.2013, 20:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну докажите, например, её ортогональность на отрезке $[0;\pi]$. А из ортогональности автоматически следует линейная независимость.

Или докажите линейную независимость не только синусов, но и соответствующих косинусов с добавленной тождественной единичкой. Такая система обратимо сводится к системе комплексных экспонент, для которых насчёт вронскиана всё очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение20.03.2013, 21:14 


13/12/09
122
МАИ прикладная математика
ewert в сообщении #699004 писал(а):
Ну докажите, например, её ортогональность на отрезке $[0;\pi]$. А из ортогональности автоматически следует линейная независимость.

Или докажите линейную независимость не только синусов, но и соответствующих косинусов с добавленной тождественной единичкой. Такая система обратимо сводится к системе комплексных экспонент, для которых насчёт вронскиана всё очевидно.


скалярное произведение брать в гильбертовом пр-ве как интеграл по бесконечности от произведения ф-ций ?
уже забыл функан =\
спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение20.03.2013, 21:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
voipp в сообщении #699018 писал(а):
уже забыл функан =\

Ну если Вы к этому моменту успели функан уже забыть -- то бог в помощь его вспомнить. Ибо в этой ситуации это -- самый простой способ доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение20.03.2013, 21:53 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
О боже. Здесь кроме индукции ничего не надо. Куда уж проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение20.03.2013, 23:36 


13/12/09
122
МАИ прикладная математика
AV_77 в сообщении #699051 писал(а):
О боже. Здесь кроме индукции ничего не надо. Куда уж проще.


давно бы уже в таком случае показали бы это!

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите доказать независимость системы
Сообщение21.03.2013, 07:25 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Ну так вы начните делать. Предположите, что для некоторых коэффициентов линейная комбинация равна нулю. Запишите эту комбинацию и продифференцируйте два раза. А там посмотрим.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group