Пространство, геометрия, метрика

[shkolnik]

Помогите пожалуйста разобраться в соотношении терминов пространство, геометрия, метрика.
Часто встречаются такие выражения: пространство Минковского, геометрия Евклида, Лобачевского, метрика Шварцшильда.
Пытался самостоятельно понять сходства и различия, но не получилось, наверное. Меня не определения этих понятий интересуют, а взаимоотношения между ними.

Как я понял, одно пространство, значит одна геометрия. Т.е. нет пространства, которое описывалось бы более чем одной геометрией и нет геометрии, которая описывала бы более одного пространства. Если мы приняли аксиомы Евклида, то пространство будет Евклидовым, если аксиомы Лобачевского, то будет пространство Лобачевского, если аксиомы Римана, то будет Риманово пространство. Так ?

Метрика - некая формула, которая определяет геометрию пространства. Уже не очень понятно. Аксиомы метрики я посмотрел, это просто ограничения на вид формул. А вот соотношение с геометрией непонятно. Вроде бы геометрию определяют аксиомы, как эта: через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Почему $x^2+y^2+z^2=t^2$ называют Евклидовой метрикой не понял. А если $x^3+y^3+z^3=t^3$ - это уже не Евклидова метрика ? Эти две метрики могут быть введены в одном и том же пространстве ? Геометрия этого пространства будет одна и та же ? А как быть с геометрией (или пространством ?) Минсковского, оно как-то определяется геометрически, через аксиомы ?

Еще не совсем понимаю, в чем отличие метрики от преобразований системы координат. Допустим, есть геометрический объект, например, треугольник. Одна из вершин в начале координат. При переходе к другой вершине (связывании с ней начала новой системы координат) может ли происходить изменение пространства, его геометрии, метрики ?

Подскажите пожалуйста, если можно с примерами, заранее благодарен.

[epros]

shkolnik в сообщении #698426 писал(а):

Как я понял, одно пространство, значит одна геометрия. Т.е. нет пространства, которое описывалось бы более чем одной геометрией и нет геометрии, которая описывала бы более одного пространства.

Не совсем. Есть обобщающие понятия. Например, Риманово пространство - обобщающее понятие, т.е. их может быть много разных. Кстати, Евклидово пространство — частный случай Римановых пространств, кои, в свою очередь, суть подмножество метрических пространств. Что касается соответствующих геометрией, то это — науки о свойствах соответствующих пространств.

shkolnik в сообщении #698426 писал(а):

Метрика - некая формула, которая определяет геометрию пространства.

Метрика — это функция, определяющая расстояния между точками. Характерна именно для метрических пространств.

shkolnik в сообщении #698426 писал(а):

Почему $x^2+y^2+z^2=t^2$ называют Евклидовой метрикой не понял.

Это формула метрики только в Декартовых координатах. В других координатах будет другая формула (для того же пространства).

shkolnik в сообщении #698426 писал(а):

А если $x^3+y^3+z^3=t^3$ - это уже не Евклидова метрика ?

Нет, не Евклидова, и даже не Риманова.

shkolnik в сообщении #698426 писал(а):

АЭти две метрики могут быть введены в одном и том же пространстве ?

Обычно понятие метрического пространства предполагает единственную метрику.

shkolnik в сообщении #698426 писал(а):

Еще не совсем понимаю, в чем отличие метрики от преобразований системы координат. Допустим, есть геометрический объект, например, треугольник. Одна из вершин в начале координат. При переходе к другой вершине (связывании с ней начала новой системы координат) может ли происходить изменение пространства, его геометрии, метрики

При преобразовании координат изменяются координаты точек, а значит изменяется формула для записи метрики, но не сама метрика (расстояния между точками). Соответственно, пространство (и его геометрия) тоже не меняются.

[shkolnik]

Спасибо за ответ, а можно я своими словами изложу, как я понял, а Вы скажите, правильно или нет и задам уточняющие вопросы ?

Пространство невозможно определить без свойств, которые задаются аксиомами геометрий, через них можно понять что есть общее между пространствами и каковы между ними различия. Типичные геометрические свойства пространства, это аксиомы и теоремы из них, например, аксиома о параллельных прямых.

Существуют обобщающие понятия для различных пространств (геометрий), например, Римановы. Эти обобщения строятся путем группировки геометрических аксиом. Например, то или иное разрешение вопроса о параллельных выделяет Евклидовы геометрии, Римановы геометрии, геометрии Лобачевского.

Так же существуют свойства пространств, которые не описываются или слабо связаны с геометрическими свойствами (аксиомами). Например, метричность. Насколько я понимаю, геометрия Евклида, Римана и Лобачевского описывают только метрические пространства.

Может ли быть неметрическое пространство с Евклидовой геометрией, я не понял.
Также не совсем понял по какому критерию Евклидовы пространства является частным случаем Римановых пространств, т.к. геометрические свойства (аксиомы) и тех и других, сформулированы в одних и тех же терминах точки, прямой и угла.

Формула метрики зависит от системы координат. В декартовых, т.е. прямоугольных координатах формула метрики будет одна, в сферических или полярных - другая. Между ними существует связь, преобразование, которое должно сохранять расстояние между точками пространства. Так ?

Если же мы переносим начало отсчета системы координат, оставляя их Декартовыми, то формула метрики не меняется, меняются лишь величины в формуле (координаты). Так ?

Почему метрику $x^2+y^2+z^2=t^2$ назвали Евклидовой ? Потому что аксиомы геометрии Евклида выполняются на пространстве с данной метрикой ? Но тогда почему метрика $x^3+y^3+z^3=t^3$ не является ни Евклидовой, ни даже Римановой, если те же аксиомы геометрии Евклида на этом пространстве тоже, вроде бы, выполняются ?
Может быть потому, что в одном случае используются квадрат, а в другом куб ?
Но ведь эти кубы можно представить, как произведения квадратов, например, $(x \cdot x^{1/2})^2 + (y \cdot y^{1/2})^2+(z \cdot z^{1/2})^2=(t \cdot t^{1/2})^2$ ?

[ИСН]

$x^3+y^3+z^3=t^3$, для начала, не является вообще метрикой.

[Munin]

ИСН в сообщении #698491 писал(а):

$x^3+y^3+z^3=t^3$, для начала, не является вообще метрикой.

Если сказать, что $t$ - расстояние между точками, а $x,y,z$ - разности их координат, то является.

[ИСН]

Ах да. Модули разностей. Тогда да.

[Munin]

shkolnik в сообщении #698488 писал(а):

Существуют обобщающие понятия для различных пространств (геометрий), например, Римановы. Эти обобщения строятся путем группировки геометрических аксиом. Например, то или иное разрешение вопроса о параллельных выделяет Евклидовы геометрии, Римановы геометрии, геометрии Лобачевского.

Тут есть путаница. Именем Римана названо аж две геометрии. В Математической энциклопидии они называются так:
1) геометрия Римана - это геометрия на полусфере, стоящая в одном ряду с геометриями Евклида (на плоскости) и Лобачевского (на псевдосфере);
2) риманова геометрия - это обобщённое название для множества разных геометрий пространств, отличающихся конкретными функциями метрики.

В частности, геометрии Евклида, Лобачевского, Римана и сферическая - все являются римановыми.

В современном языке такая путаница обычно распутывается в пользу более важного термина: для "геометрии Римана" есть другое название - "эллиптическая геометрия", его и используют (а "геометрия Лобачевского", соответственно, "гиперболическая").

Аксиомы геометрии Римана похожи на аксиомы геометрии Евклида.
Аксиомы римановой геометрии совсем другие. Но главное - одни аксиомы ещё не определяют пространства. Необходимо задать ещё функцию метрики.

shkolnik в сообщении #698488 писал(а):

Но ведь эти кубы можно представить, как произведения квадратов

Тем не менее, функция всё равно будет другая.

[epros]

shkolnik в сообщении #698488 писал(а):

Так же существуют свойства пространств, которые не описываются или слабо связаны с геометрическими свойствами (аксиомами). Например, метричность.

Не совсем, метрика тоже определяется аксиомами.

shkolnik в сообщении #698488 писал(а):

Может ли быть неметрическое пространство с Евклидовой геометрией, я не понял.

Евклидово — всегда метрическое.

shkolnik в сообщении #698488 писал(а):

Также не совсем понял по какому критерию Евклидовы пространства является частным случаем Римановых пространств, т.к. геометрические свойства (аксиомы) и тех и других, сформулированы в одних и тех же терминах точки, прямой и угла.

Характерное свойство Евклидова пространства можно выразить по-разному: Можно — пятым постулатом Евклида, можно — утверждением о равенстве суммы углов треугольника 180°, можно — утверждением о равенстве отношения длины окружности к диаметру числу $\pi$ и т.д.

shkolnik в сообщении #698488 писал(а):

Но тогда почему метрика $x^3+y^3+z^3=t^3$ не является ни Евклидовой, ни даже Римановой

Тут некорректность. Метрика (расстояние) должно быть, как правило, положительным. К тому же расстояния обычно определяются для бесконечно близких точек.

[Oleg Zubelevich]

а проективная геометрия вообще не связана с метрикой... аффинная геометрия не связана с метрикой.

[Munin]

Oleg Zubelevich
А вот вам задание: сколько всего геометрий вы сможете назвать? Условие: чтобы понятия не пересекались. И чтобы не пересекались с уже названными (Евклида, Лобачевского, Римана, сферическую, риманову, проективную, аффинную).

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #698520 писал(а):

Oleg Zubelevich
А вот вам задание: сколько всего геометрий вы сможете назвать? Условие: чтобы понятия не пересекались. И чтобы не пересекались с уже названными (Евклида, Лобачевского, Римана, сферическую, риманову, проективную, аффинную).

это вы мне предлагаете сравнительной фалометрией заняться?
ну откройте например, Клейна "О развитии математики в 19 столетии" или Мальцева "Основы линейной алгебры" и переписывайте оттуда сюда.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #698532 писал(а):

это вы мне предлагаете сравнительной фалометрией заняться?

Нет, напротив: предлагаю вам сделать доброе дело и продемонстрировать всем, какой вы эрудированный, и сколько ещё интересного предстоит узнать топикстартеру. Зачем нам какой-то Клейн? Нам вы интересны!