Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать

[Ktina]

Можно ли функцию Дирихле представить в виде разности двух монотонных функций?

Строгое доказательство невозможности мне сформулировать пока не удалось, но думаю, что ответ будет "нельзя".

Пусть функция Дирихле является разностью $f(x)-g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ монотонные функции. Эти функции должны быть либо обе неубывающие, либо обе невозрастающие, иначе их разность сама превратится в монотонную функцию.
Пусть WLOG они обе неубывающие.
Возьмём любую иррациональную точку $x$. В этой точке выполнено $f(x)=g(x)$. Теперь возьмём рациональную точку $y=x+\varepsilon$, в ней уже $f(x)=g(x)+1$, из чего следует, что функция $f(x)$ успела возрасти как минимум на 1. Теперь возьмём иррациональную точку $z=y+\varepsilon$, в ней снова $f(x)=g(x)$, значит, по пути из $y$ в $z$ теперь уже функция $g(x)$ возросла как минимум на 1. И так далее будем чередовать рациональные точки с иррациональными и каждый раз получать возрастание одной из функций $f(x)$ и $g(x)$ на единичку. Но таких эпсилонов можно нагородить сколько угодно на очень малом промежутке, из чего следует, что значение обеих функций $f(x)$ и $g(x)$ устремляется в бесконечность по мере увеличения количества эпсилонов на данном промежутке. Значит, в конце этого промежутка обе функции не смогут принять конечные значения.

А теперь как всё это оформить так, чтобы было хотя бы похоже на доказательство?
Хотя мне кажется, что на устной олимпиаде мне такое засчитали бы.

[SpBTimes]

А нельзя ли сослаться на то, что монотонная функция имеет не более чем счетное число точек разрыва?

[Ktina]

SpBTimes в сообщении #697951 писал(а):

А нельзя ли сослаться на то, что монотонная функция имеет не более чем счетное число точек разрыва?

Может быть и можно, но я хотела попроще, чтобы школьникам было доступно.

[lyuk]

Тут можна поробовать два способа.

Первый - исходя из того, что у монотонной функции разрывы только первого рода. Отсюда - множество точек разрыва не более, чвм счетно. И т.д.

Второй -- монотонная функция имеет конечную вариацию на каждом отрезке. Отсюда и разность монотонных функций имеет конечную вариацию. А функция Дирихле на каждом отрезке имеет бесконечную вариацию. Кстати этот способ можна доступно реализовать вполне школьными методами.

[Ktina]

lyuk, простите за невежество, а что такое вариация? Задача-то для первого курса, там, вроде, вариации не проходят.

[Xaositect]

Ну, на мой взгляд хорошее решение, осталось только заключение написать чуть более формально. Например, доказать, что для сколь угодно большого $N$ разность $f(x + 1) - f(x)$ должна быть больше $N$

[lyuk]

Давайте без лишних терминов.

Пусть $d(x)=f(x)-g(x)$, где $f,g$ - монотонные. Обозначим $K=|f(1)-f(0)|+|g(1)-g(0)|$ (это, к слову, сумма вариаций этих двух функций). Теперь выберем $n>k$ и последовательность $(n+1)$ чередующщихся точек (рациональное, иррациональное, и т.д.) с отрезка $[0,1]$ .Используя неравенство треугольника для модуля теперь получаем $n=|d(x_1)-d(x_0)|+\dots +|d(x_n)-d(x_{n-1})|\leq K$.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #697960 писал(а):

Ну, на мой взгляд хорошее решение, осталось только заключение написать чуть более формально. Например, доказать, что для сколь угодно большого $N$ разность $f(x + 1) - f(x)$ должна быть больше $N$

Разбивая отрезок $[x, x+1]$ на $2n$ эпсилонов, получаем разность, не меньшую $n$, разве нет?

-- 19.03.2013, 00:17 --

lyuk в сообщении #697961 писал(а):

...(это, к слову, сумма вариаций этих двух функций)...

Ещё раз, что такое вариация?

[Xaositect]

Ktina в сообщении #697962 писал(а):

Разбивая отрезок на $2n$ эпсилонов, получаем разность, не меньшую , разве нет?

Угу. Это и будет холодной формальной записью вот этого рассуждения:

Ktina в сообщении #697950 писал(а):

Но таких эпсилонов можно нагородить сколько угодно на очень малом промежутке, из чего следует, что значение обеих функций и устремляется в бесконечность по мере увеличения количества эпсилонов на данном промежутке.

[lyuk]

Для решения вам формально вариация не нужна. А определение такое: вариация функции $f$ на отрезке $[a,b]$ - это супремум всех сум $|f(x_1)-f(x_0)|+\dots+|f(x_n)-f(x_{n-1})|$, где $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.

[Ktina]

lyuk в сообщении #697966 писал(а):

Для решения вам формально вариация не нужна. А определение такое: вариация функции $f$ на отрезке $[a,b]$ - это супремум всех сум $|f(x_1)-f(x_0)|+\dots+|f(x_n)-f(x_{n-1})|$, где $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.

То есть, если провести аналогию с физикой 7-го класса, то разность значений функции на концах отрезка это перемещение, а вариация это путь?

[lyuk]

Да.

[Ktina]

lyuk в сообщении #697970 писал(а):

Да.

И как тогда доказать, что

lyuk в сообщении #697955 писал(а):

монотонная функция имеет конечную вариацию на каждом отрезке. Отсюда и разность монотонных функций имеет конечную вариацию. А функция Дирихле на каждом отрезке имеет бесконечную вариацию.

?

-- 19.03.2013, 00:43 --

Снимаю последний вопрос, уже поняла. Оказывается, так просто и главное красиво!

[lyuk]

Для монотонной функции -- перемещение и путь равны. Вариация суммы не превышает суммы вариаций.

[Ktina]

А, нет, стоп-машина! Разность двух монотонных функций разве обязана быть монотонной? Нет, конечно. Тогда откуда вывод, что её вариация конечна?

-- 19.03.2013, 00:48 --

lyuk в сообщении #697973 писал(а):

Вариация суммы не превышает суммы вариаций.

А это как доказать?