2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение18.03.2013, 23:46 
Аватара пользователя
Можно ли функцию Дирихле представить в виде разности двух монотонных функций?

Строгое доказательство невозможности мне сформулировать пока не удалось, но думаю, что ответ будет "нельзя".

Пусть функция Дирихле является разностью $f(x)-g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ монотонные функции. Эти функции должны быть либо обе неубывающие, либо обе невозрастающие, иначе их разность сама превратится в монотонную функцию.
Пусть WLOG они обе неубывающие.
Возьмём любую иррациональную точку $x$. В этой точке выполнено $f(x)=g(x)$. Теперь возьмём рациональную точку $y=x+\varepsilon$, в ней уже $f(x)=g(x)+1$, из чего следует, что функция $f(x)$ успела возрасти как минимум на 1. Теперь возьмём иррациональную точку $z=y+\varepsilon$, в ней снова $f(x)=g(x)$, значит, по пути из $y$ в $z$ теперь уже функция $g(x)$ возросла как минимум на 1. И так далее будем чередовать рациональные точки с иррациональными и каждый раз получать возрастание одной из функций $f(x)$ и $g(x)$ на единичку. Но таких эпсилонов можно нагородить сколько угодно на очень малом промежутке, из чего следует, что значение обеих функций $f(x)$ и $g(x)$ устремляется в бесконечность по мере увеличения количества эпсилонов на данном промежутке. Значит, в конце этого промежутка обе функции не смогут принять конечные значения.

А теперь как всё это оформить так, чтобы было хотя бы похоже на доказательство?
Хотя мне кажется, что на устной олимпиаде мне такое засчитали бы.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение18.03.2013, 23:51 
Аватара пользователя
А нельзя ли сослаться на то, что монотонная функция имеет не более чем счетное число точек разрыва?

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение18.03.2013, 23:52 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #697951 писал(а):
А нельзя ли сослаться на то, что монотонная функция имеет не более чем счетное число точек разрыва?

Может быть и можно, но я хотела попроще, чтобы школьникам было доступно.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение18.03.2013, 23:59 
Тут можна поробовать два способа.

Первый - исходя из того, что у монотонной функции разрывы только первого рода. Отсюда - множество точек разрыва не более, чвм счетно. И т.д.

Второй -- монотонная функция имеет конечную вариацию на каждом отрезке. Отсюда и разность монотонных функций имеет конечную вариацию. А функция Дирихле на каждом отрезке имеет бесконечную вариацию. Кстати этот способ можна доступно реализовать вполне школьными методами.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:01 
Аватара пользователя
lyuk, простите за невежество, а что такое вариация? Задача-то для первого курса, там, вроде, вариации не проходят.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:13 
Аватара пользователя
Ну, на мой взгляд хорошее решение, осталось только заключение написать чуть более формально. Например, доказать, что для сколь угодно большого $N$ разность $f(x + 1) - f(x)$ должна быть больше $N$

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:14 
Давайте без лишних терминов.

Пусть $d(x)=f(x)-g(x)$, где $f,g$ - монотонные. Обозначим $K=|f(1)-f(0)|+|g(1)-g(0)|$ (это, к слову, сумма вариаций этих двух функций). Теперь выберем $n>k$ и последовательность $(n+1)$ чередующщихся точек (рациональное, иррациональное, и т.д.) с отрезка $[0,1]$ .Используя неравенство треугольника для модуля теперь получаем $n=|d(x_1)-d(x_0)|+\dots +|d(x_n)-d(x_{n-1})|\leq K$.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:16 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #697960 писал(а):
Ну, на мой взгляд хорошее решение, осталось только заключение написать чуть более формально. Например, доказать, что для сколь угодно большого $N$ разность $f(x + 1) - f(x)$ должна быть больше $N$

Разбивая отрезок $[x, x+1]$ на $2n$ эпсилонов, получаем разность, не меньшую $n$, разве нет?

-- 19.03.2013, 00:17 --

lyuk в сообщении #697961 писал(а):
...(это, к слову, сумма вариаций этих двух функций)...

Ещё раз, что такое вариация?

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:18 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #697962 писал(а):
Разбивая отрезок на $2n$ эпсилонов, получаем разность, не меньшую , разве нет?
Угу. Это и будет холодной формальной записью вот этого рассуждения:
Ktina в сообщении #697950 писал(а):
Но таких эпсилонов можно нагородить сколько угодно на очень малом промежутке, из чего следует, что значение обеих функций и устремляется в бесконечность по мере увеличения количества эпсилонов на данном промежутке.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:28 
Для решения вам формально вариация не нужна. А определение такое: вариация функции $f$ на отрезке $[a,b]$ - это супремум всех сум $|f(x_1)-f(x_0)|+\dots+|f(x_n)-f(x_{n-1})|$, где $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:29 
Аватара пользователя
lyuk в сообщении #697966 писал(а):
Для решения вам формально вариация не нужна. А определение такое: вариация функции $f$ на отрезке $[a,b]$ - это супремум всех сум $|f(x_1)-f(x_0)|+\dots+|f(x_n)-f(x_{n-1})|$, где $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.

То есть, если провести аналогию с физикой 7-го класса, то разность значений функции на концах отрезка это перемещение, а вариация это путь?

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:31 
Да.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:35 
Аватара пользователя
lyuk в сообщении #697970 писал(а):
Да.

И как тогда доказать, что
lyuk в сообщении #697955 писал(а):
монотонная функция имеет конечную вариацию на каждом отрезке. Отсюда и разность монотонных функций имеет конечную вариацию. А функция Дирихле на каждом отрезке имеет бесконечную вариацию.
?

-- 19.03.2013, 00:43 --

Снимаю последний вопрос, уже поняла. Оказывается, так просто и главное красиво!

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:45 
Для монотонной функции -- перемещение и путь равны. Вариация суммы не превышает суммы вариаций.

 
 
 
 Re: Функция Дирихле как разность монотонных, помогите доказать
Сообщение19.03.2013, 00:46 
Аватара пользователя
А, нет, стоп-машина! Разность двух монотонных функций разве обязана быть монотонной? Нет, конечно. Тогда откуда вывод, что её вариация конечна?

-- 19.03.2013, 00:48 --

lyuk в сообщении #697973 писал(а):
Вариация суммы не превышает суммы вариаций.

А это как доказать?

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group