Вопрос о корректности задачи

[Ktina]

Именно такую задачу предлагали на Математическом Празднике:

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а) Найдите этот закон.

б) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число $2^{1991}$ после нескольких переходов станет однозначным.


а) Закон нашла: $a_n=a_0\cdot (2^n\pmod 9)$

б) Каждое число переходит в себя, это очевидно, так как степени двойки циклятся по модулю 9.

в) Если число переходов конечно, то утверждение не верно. Если бесконечно, то там вообще не определено. Как быть? Задача не корректна?

[gris]

Требуется закон получения следующего числа из предыдущего. Предыдущее можно трактовать, как одно из предыдущих, тогда Вы правы. Но обычно в последовательности предыдущим называется то, что имеет номер, на единичку меньший. И определить надо число, которое переходит в себя за один переход.

[nothingness]

Вы не разгадали бредовый гениальный замысел автора задачи.
http://www.problems.ru/view_problem_det ... ?id=103750

[arseniiv]

Да уж… Несмотря на зажёванность вопроса о таких угадывательных последовательностях, хочется наехать на автора задачи.

в решении той задачи кто-то писал(а):

А умение увидеть, почувствовать закономерность (что требовалось в данной задаче) не менее важно для математика, чем умение строго рассуждать!

Однако в реальности о закономерности всегда больше информации (из интуитивно замечаемых свойств рассматриваемых вещей, с которыми связана последовательность). К тому же, часто поначалу неизвестно, единственен объект с нужными свойствами или нет. А тут жульничество: говоря $\exists!$, подразумевать $\exists$.

Ktina, вы там что, все задачи подряд решаете? Можно же откровенную ерунду не трогать. Что она вам даст?

[VAL]

Ktina в сообщении #697719 писал(а):

Именно такую задачу предлагали на Математическом Празднике:

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а) Найдите этот закон.

б) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число $2^{1991}$ после нескольких переходов станет однозначным.


а) Закон нашла: $a_n=a_0\cdot (2^n\pmod 9)$

IMHO, $a_n=2a_{n-1} \pmod {18}$, что по сути то же, выглядит проще.
Впрочем, с авторским решением оно не сходится в той же мере

Цитата:

б) Каждое число переходит в себя, это очевидно, так как степени двойки циклятся по модулю 9.

"Переходит в себя" и "циклится" (переходит в себя на некотором шаге) - явно разные вещи.

Цитата:

в) Если число переходов конечно, то утверждение не верно. Если бесконечно, то там вообще не определено. Как быть? Задача не корректна?

Я уже неоднократно высказывался по поводу заданий, в которых надо найти закономерность.
С формальной точки зрения все они не корректны.
Но... На мой взгляд, такие постановки вполне уместны, если:
1) предлагаемая задание - позиционируется не как задача, а как головоломка;
2) авторское решение гораздо изящнее любых альтернатив.
Понимаю, что критерий "гораздо изящнее" сам по себе тоже не формален. Но по этому поводу см. пункт 1.

В данном случае мне представляется, что авторское решение чуть поизящнее других. Но именно чуть. А потому задача не корректна.