Как решать такие уравнения с числом е?

[ИСН]

Как вычислить $(-2)^{1/6}$?

[larkova_alina]

ИСН, не определено.
Но зато определено $(-2)^{1/5}.$
Короче говоря, найдется предостаточно отрицательных точек в которых буду определены обе части данного уравнения.

[ИСН]

А, если так... Хм. Да, тут есть нюанс.
Ладно, давайте вот что: опишите всё-таки словами, в каких отрицательных точках функция определена.

[larkova_alina]

ИСН в сообщении #697505 писал(а):

А, если так... Хм. Да, тут есть нюанс.
Ладно, давайте вот что: опишите всё-таки словами, в каких отрицательных точках функция определена.

Функция $f(x)=x^{-2x}$ определена на множестве $\lbrace-\frac{n}{2m} |\; n\in\mathbb {N}\wedge m=2k+1 \wedge k\in\mathbb {N}_0\rbrace\cup [0; +\infty).$

[ИСН]

В точке, задаваемой через $n=1,\;m=2$, она тоже определена?

[larkova_alina]

ИСН, я исправила.

[ИСН]

Ага, так лучше. Теперь это запоминаем и переезжаем в плюс, чтобы не путаться. Будем искать положительный x, такой, что $f(-x)=2$, то есть...

[larkova_alina]

ИСН в сообщении #697525 писал(а):

Ага, так лучше. Теперь это запоминаем и переезжаем в плюс, чтобы не путаться. Будем искать положительный x, такой, что $f(-x)=2$, то есть...

$f(-x)=(-x)^{2x}=2.$
Как его решить я не знаю, а главное, не понимаю зачем?

[ИСН]

Чтобы с минусами не путаться. Теперь следующий ход. Вспоминаем ту область определения. Ой, а число $-{1\over3}$ у Вас в неё входит?

-- Пн, 2013-03-18, 13:37 --

А, ну да, конечно, входит. Так вот...

-- Пн, 2013-03-18, 13:38 --

...отрицательное число в какой-то степени может быть тоже отрицательным - это явно не наш случай - а может быть положительным. Это когда, например?

[Евгений Машеров]

Возвращаясь к первоначальному уравнению.
Если нам что-то подобное попалось, полезно поискать "метаинформацию" - откуда такое чудо взялось? Кто подсунул - Матушка-Природа или Дядечка-Профессор. Если первое - то она о нашем существовании не подозревает, злонамеренности к нам не испытывает, но и доброжелательности тоже. И, скорее всего, простого и красивого решения тут нет, решать надо численно. А вот если второе... Это нам даёт по крайней мере три полезных подсказки:
1. Решение есть, и, скорее всего, результат довольно просто выглядит.
2. Решение должно опираться на то, что мы знаем (или, вернее, на то, что, по мнению Профессора, мы знать обязаны)
3. Однако оно не состоит в применении стандартного приёма, а надо что-то неожиданное ввернуть.

У нас странный гибрид квадратного уравнения и трансцедентного. И простых преобразований, сводящих к известному виду, не просматривается. Ну, раз появилось слово "трансцедентное" - то можно вспомнить, что нам Профессор упоминал о трансцедентности числа e, и получается, что в левой части у нас при любом рациональном показателе степени иррациональное число, а справа вообще целое. Кроме показателя 0. Подставляем, ура!, сошлось.
А дальше рисуем $e^x=\frac {2-x^2}{x+1}$, видим, что там, где графики могут пересечься, один возрастает, второй убывает, так что пересечение у них одно и мы его нашли.

[larkova_alina]

ИСН в сообщении #697534 писал(а):

...отрицательное число в какой-то степени может быть тоже отрицательным - это явно не наш случай - а может быть положительным. Это когда, например?

Когда показатель степени представим в виде $\frac{2m}{2n+1}$, где $n\in \mathbb{Z}$, $m\in \mathbb{N}$.
Кстати, выражения $(-1)^\frac{4}{3}$ и $(-1)^\frac{8}{6}$ тождественны?

[nnosipov]

larkova_alina в сообщении #697493 писал(а):

Но зато определено $(-2)^{1/5}.$

Это в каком учебнике Вы вычитали?

[ИСН]

nnosipov, ну что Вы докопались до мышей. Здесь вот так.
Вопрос о тождественности $(-1)^\frac{4}{3}$ и $(-1)^\frac{8}{6}$ считаю возможным отбросить за ненужностью.
Итак, если $x=\frac{m}{2n+1}$, то чему равно $f(-x),\text{ которое }(-x)^{2x}$?

[larkova_alina]

nnosipov, а что, не определено?
$(-2)^{1/5}$ - это такое отрицательное число, которое при возведении в пятую степень дает $-2$.
-- 18.03.2013, 18:14 --

ИСН, $(-1)^\frac{8}{6}$ определено?

Если $x=\frac{m}{2n+1}$, то $f(-x)=(-\frac{m}{2n+1}$)^{\frac{2m}{2n+1}$}$.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #697649 писал(а):

nnosipov, ну что Вы докопались до мышей.

Нет, это вполне принципиально. Есть класс элементарных функций, которые получаются из базовых элементарных функций (с их известными областями определения) при помощи четырёх алгебраических операций и операции композиции. Этого класса за глаза хватает для всех школьных нужд. Выражение $x^{2x}$ естественно понимать именно как композицию показательной функции с логарифмической, отсюда и область определения. Зачем ещё что-то придумывать дополнительно?

-- Пн мар 18, 2013 21:18:06 --

larkova_alina в сообщении #697663 писал(а):

nnosipov, а что, не определено?

Нет, не определено. Определено выражение $\sqrt[5]{-2}$.