Суммы цифр чисел и операции ?

[yk2ru]

Вот что интересует:
Если взять число с каким-то количеством цифр в нём и начать эти цифры складывать, получим другое число. В нём также сложим цифры и будем продолжать это до того момента, пока не останется одна цифра.
Определено в математике такое действие каким-то символом?

Пока я запишу так: КСЦ( 125 ) = 8 ( КСЦ - конечная сумма цифр ) .
Так к примеру: КСЦ( 1234321 ) = 7, и также КСЦ( 7531 ) = 7.

Далее: можно ли утверждать, что если число C есть произведение чисел A и B ( C = A * B ), то верно и следующее: КСЦ( C ) = КСЦ ( КСЦ( A ) * КСЦ( B ) ) .

Пример:
125 * 7531 = 941375 , КСЦ( 941375 ) = 2.
КСЦ(125) * КСЦ(7531) = 8 * 7 = 56, КСЦ( 56 ) = 2.

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

Это возможно рассматривать не только в десятеричной системе исчисления, но и в других. Там также это будет справедливо.

[ИСН]

Это действие называется (если в десятичной системе) "остаток от деления на 9". Подмеченное Вами свойство таки да, верно.

[neo66]

То, что вы получаете итеррацией операций КСЦ(n) - просто остаток при деления числа $n$ на $9$. Поэтому Ваше тождество КСЦ( C ) = КСЦ ( КСЦ( A ) * КСЦ( B ) ) просто отражает тот очевидный факт, что кольцо вычетов по модулю $9$ - это кольцо. Кстати могу подарить Вам еще одно тождество: КСЦ( C ) = КСЦ ( КСЦ( A ) + КСЦ( B ) ).

[незваный гость]

Ну, не совсем остаток: КСЦ(9) = 9. Да еще и КСЦ(0) = 0 является исключением.

[neo66]

Ну, хорошо, не остаток . Элемент кольца вычетов по $mod$$9$.

[yk2ru]

"еще одно тождество: КСЦ( C ) = КСЦ ( КСЦ( A ) + КСЦ( B ) )."

Это для сумм чисел ( Если C = A + B, то КСЦ( C ) = КСЦ ( КСЦ( A ) + КСЦ( B ) ) ) ?


"Ну, не совсем остаток: КСЦ(9) = 9. Да еще и КСЦ(0) = 0"

Если принять изначально, что КСЦ(9) = КСЦ(0) , то можно просто записывать через модули числа 9 ?
По образованию я физик, поэтому с кольцами едва знаком.

[neo66]

yk2ru писал(а):

Это для сумм чисел ( Если C = A + B, то КСЦ( C ) = КСЦ ( КСЦ( A ) + КСЦ( B ) ) ) ?

Да, конечно, я имел в виду КСЦ( A + B ) = КСЦ ( КСЦ( A ) + КСЦ( B ) ).

[Батороев]

КСЦ вполне можно заменить понятием "окончание чисел в 9-чной системе счисления (СС)" и совершать все действия, которые окончаниям присущи.
Что примерно происходит при переходе из 10-чной СС в 9-чную, разберем на примере:
$ 125*7531 = 941375 $

$ (1*100 + 2*10 + 5)*(7*1000 + 5*100 + 3*10 + 1) = (9*100000 + 4*10000 + 1*1000 + 3*100 + 7*10 + 5) $

$ (1*99 + 1 + 2*9 + 2 + 5)(7*999 + 7 + 5*99 + 5 + 3*9 +3 +1) = (9*99999 + 9 + 4*9999 + 4 + 1*999 + 1 + 3*99 + 3 + 7*9 + 7 + 5) $

$ (9*A + 1 + 2 + 5)(9*B + 7 + 5 + 3 + 1) = (9*C + 4 + 1 + 3 + 7 + 5) $

$ (9*A + 8)(9*B + 16) = (9*C + 20) $

$ 81AB + 8*9B + 16*9A + 128 = 9C + 20 $

$ 9*D + 1*100 + 2*10 + 8 = 9C + 2*10 $

$ 9D + 1*99 + 1 + 2*9 + 2 + 8 = 9C + 2*9 + 2 $

$ 9E + 9 + 2 = 9F + 2 $

$ 9F + 2 = 9F + 2 $

В данном контексте величины A, B, C... не считаем.

А вот так выглядит Ваш пример в 9-чной СС:

$ 148_9*11287_9 = 1684282_9 $



Вы правы, что аналогично получается при любом переходе из одной СС в другую при уменьшении основания системы на единицу.

p.s.1 Также возможно рассматривать изменения, происходящие при переходе из одной СС в другую с увеличением основания системы на единицу, но при этом необходимо учитывать чередование знаков цифр.
p.s 2 Печальная история

[yk2ru]

Единственно, что если КСЦ числа равна 9, то последняя цифра числа в девятеричной системе будет 0.