Последовательность

[Andrey A]

Как выразить $n$-ый член последовательности $u_n$, заданной рекуррентным способом:
$u_1=1$
$u_2=2$
$u_{n+1}=\frac{u_n^3+1}{u_{n-1}}$?
Подробности тут (последний пост).

[nnosipov]

Нетрудно доказать, что все члены этой последовательности --- целые числа. Так же будет и при $u_1=1$, $u_2=-2$. Если $u_1=1$, $u_2=q$, где $q$ --- целое число $\not\in \{\pm 1,\pm 2\}$, то члены этой последовательности не будут целыми. Явной формулы для $u_n$, скорее всего, нет. Пары $(u_n,u_{n+1})$ дают решения сравнения $x^3+y^3+1 \equiv 0 \pmod{xy}$, но далеко не все.

[Andrey A]

Но ведь можно так:
$u_1=1$
$u_2=3$
$u_3=\frac{3^3+1}{1}=28$
$u_4=\frac{28^3-1}{3}=7317$
$u_5=\frac{7317^3-1}{28}=13990754429$
$u_6=\frac{13990754429^3+1}{7317}=374274592544235899057160270 $
. . . . . . . . . . . .
Или так:
$u_1=1$
$u_2=4$
$u_3=\frac{4^4-1}{1}=255$
$u_4=\frac{255^4-1}{4}=1057062656$
$u_5=\frac{1057062656^4-1}{255}=4896240487326992664020013270761729$
. . . . . . . . . . . .

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #696500 писал(а):

Но ведь можно так:

И что Вы от всего этого хотите? Вопрос сформулируйте.

[Andrey A]

Вопрос в начале. Но теперь еще вопрос существования таких последовательностей для произвольного $q$.
$3,4\not\in \{\pm 1,\pm 2\}$, или я чего-то не понимаю?

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #696381 писал(а):

Как выразить $n$-ый член последовательности $u_n$, заданной рекуррентным способом:
$u_1=1$
$u_2=2$
$u_{n+1}=\frac{u_n^3+1}{u_{n-1}}$?

Я и ответил на этот вопрос. Про последовательности с иной рекуррентной зависимостью Вы ничего и не спрашивали. Так в чём вопрос?

-- Сб мар 16, 2013 16:53:54 --

Andrey A в сообщении #696531 писал(а):

Но теперь еще вопрос существования таких последовательностей для произвольного $q$.

Сформулируйте точно, о каких последовательностях идёт речь.

[Andrey A]

Последовательность такая:
$u_1=1$
$u_2=q$
$u_{n+1}=\frac{u_n^k\pm 1}{u_{n-1}}$
$q$ - целое, $k$ - натуральный показатель.
Всегда ли можно подобрать знаки перед единицей так, чтобы последовательность была целочисленной? Вопрос о явном выражении $u_n$ можно оставить в стороне.

[nnosipov]

При $k=1$ --- только для исключительных значений $q$. При $k=2$ и $k=3$ ответ "всегда" (т.е. при любом значении $q$). Вообще, похоже, что при любом $k>1$ ответ "всегда" (аккуратно не проверял, но компьютерные эксперименты подтверждают). Для чётных $k$ можно пробовать последовательность знаков с периодом $+-$, а для нечётных --- с периодом $+--$. Попроверяйте. Если найдёте контрпример, напишите.

[Andrey A]

Вот на счет периодов - самое интересное. Спасибо.