Привет, ребята! Всем хорошего дня! Прошу помочь мне добить вот такую вот задачку. Необходимо исследовать на абсолютные и локальные макс. и мин.:





Запишем условие стационарности:

Положим

:
Тогда:

Тогда, положим

. Отсюда:

Подставим найденное значение

во все уравнения. Получим:

"Причешем" систему:

По последнему уравнению системы, сделаем предположение. Пусть

. Тогда:
I)

Из последнего уравнения полученной системы либо

, либо

. Проверим эти случаи.
Пусть

. Тогда:
а)

В результате чего, получили следующее решение:

, при

Теперь пусть

. Тогда:

б)

Преобразуем систему:

Домножим последнее уравнение на 14. Получим:

. Отсюда,

. Тогда:

В итоге, получили решение:

, при

Теперь вернёмся к случаю

, т.е.

. Наша система примет вид:
II)

Из последнего уравнения этой системы либо

, либо

. Проверим оба случая:
Пусть

.
а)Получаем противоречие, т.к. вторая строка этой системы гласит, что

.
Рассмотрим теперь

:
б)

Подставим найденное значение

в два последних уравнения. Получим:

Преобразуем:

И ещё преобразуем:

Решив эту систему, получим следующие

:

.
В итоге, получаем наше третье решение:

при

Получив три решения, я решил определить значения своей функции в этих точках:
В итоге:



Я также построил плоскости, заданные в условии и поразмыслив, пришёл к выводу, что моя функция неограничена сверху, следовательно, у меня не будет максимума. Осталось разобраться с минимумами. Очень прошу помочь мне в этом деле, т.к. не совсем понимаю, как мне дальше разобраться с локальными и абс. минимумами.