2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать на абсолютные и локальные экстремумы
Сообщение13.03.2013, 19:16 


25/09/12
33
Украина
Привет, ребята! Всем хорошего дня! Прошу помочь мне добить вот такую вот задачку. Необходимо исследовать на абсолютные и локальные макс. и мин.:


$3x_1^2-11x_1-3x_2-x_3 \rightarrow extr$

$x_1-7x_2+3x_3+7 \leq 0$

$5x_1+2x_2-x_3-2 \leq 0$

$-x_3 \leq 0$

$L=\lambda_0(3x_1^2-11x_1-3x_2-x_3 )+\lambda_1 (x_1-7x_2+3x_3+7)+\lambda_2 (5x_1+2x_2-x_3-2)+\lambda_3 x_3$

Запишем условие стационарности:

$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x_1}=\lambda_0(6x_1-11)+\lambda_1+5\lambda_2=0&\text{}\\
\frac{\partial L}{\partial x_2}=-3\lambda_0-7\lambda_1=0&\text{}\\
\frac{\partial L}{\partial x_3}=-\lambda_0+3\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
\lambda_1(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\
-\lambda_3x_3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Положим $\lambda_0=0$:
Тогда:

$$
\begin{cases}
\lambda_1+5\lambda_2=0&\text{}\\
-7\lambda_1=0&\text{=> $\lambda_1=0$ => $\lambda_2=0$. Противоречие;}\\
3\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
\lambda_1(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\
-\lambda_3x_3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Тогда, положим $\lambda_0=1$. Отсюда:
$$
\begin{cases}
(6x_1-11)+\lambda_1+5\lambda_2=0&\text{}\\
-3-7\lambda_1=0&\text{=> $-3=7\lambda_1$; $\lambda_1=-\frac{3}{7}$}\\
-1+3\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
\lambda_1(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\
-\lambda_3x_3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Подставим найденное значение $\lambda_1=-\frac{3}{7}$ во все уравнения. Получим:
$$
\begin{cases}
(6x_1-11)-\frac{3}{7}+5\lambda_2=0&\text{}\\
-1-\frac{9}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
-\frac{3}{7}(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\
-\lambda_3x_3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

"Причешем" систему:
$$
\begin{cases}
6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\
-\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\
-\lambda_3x_3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

По последнему уравнению системы, сделаем предположение. Пусть $\lambda_3\neq0=>x_3=0$. Тогда:
I)
$$
\begin{cases}
6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\
-\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+3x_2-3=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-2)=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Из последнего уравнения полученной системы либо $\lambda_2=0$, либо $5x_1+2x_2-2=0$. Проверим эти случаи.
Пусть $\lambda_2=0$. Тогда:
а)
$$
\begin{cases}
x_1=\frac{40}{21}&\text{}\\
\lambda_3=-\frac{16}{7}&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+3x_2-3=0&\text{=> $x_2=(3+\frac{3}{7}\frac{40}{21})\frac{1}{3}=\frac{187}{140}$}\\
\end{cases}
$$

В результате чего, получили следующее решение:
$x^1=(\frac{40}{21};\frac{187}{140};0)$, при $(\lambda_0=1;\lambda_1=-\frac{3}{7};\lambda_2=0;\lambda_3=\frac{16}{7};)$

Теперь пусть $5x_1+2x_2-2=0$. Тогда:
$x_2=\frac{2-5x_1}{2}$
б)
$$
\begin{cases}
6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\
-\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+3(\frac{2-5x_1}{2})-3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Преобразуем систему:

$$
\begin{cases}
6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\
-\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+(\frac{6-15x_1}{2})-3=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Домножим последнее уравнение на 14. Получим:

$-6x_1+42-105x_1-42=0$. Отсюда, $x_1=0$. Тогда: $x_2=\frac{2}{2}=1$
В итоге, получили решение:
$x^2=(0;1;0)$, при $(\lambda_0=1;\lambda_1=-\frac{3}{7};\lambda_2=\frac{16}{7};\lambda_3=\frac{32}{7};)$

Теперь вернёмся к случаю $\lambda_3=0$, т.е. $x_3\neq0$. Наша система примет вид:
II)
$$
\begin{cases}
6x_1+5\lambda_2=\frac{80}{7}&\text{}\\
\lambda_2=-\frac{16}{7}&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\
\lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\
\end{cases}
$$
Из последнего уравнения этой системы либо $\lambda_2=0$, либо $5x_1+2x_2-x_3-2=0$. Проверим оба случая:
Пусть $\lambda_2=0$.
а)Получаем противоречие, т.к. вторая строка этой системы гласит, что $\lambda_2=-\frac{16}{7}$.
Рассмотрим теперь $5x_1+2x_2-x_3-2=0$:
б)
$$
\begin{cases}
6x_1+5\lambda_2=\frac{80}{7}&\text{Из второго уравнения, подставив лямбда_2: $x_1=\frac{80}{21}$}\\
\lambda_2=-\frac{16}{7}&\text{}\\
-\frac{3}{7}x_1+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\
5x_1+2x_2-x_3-2=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Подставим найденное значение $x_1$ в два последних уравнения. Получим:

$$
\begin{cases}
-\frac{3}{7}\frac{80}{21}+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\
5\frac{80}{21}+2x_2-x_3-2=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

Преобразуем:
$$
\begin{cases}
-\frac{80}{49}+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\
\frac{400}{21}+2x_2-x_3-2=0&\text{}\\
\end{cases}
$$

И ещё преобразуем:

$$
\begin{cases}
3x_2-\frac{9}{7}x_3=\frac{227}{49}&\text{}\\
2x_2-x_3=-\frac{358}{21}&\text{}\\
\end{cases}
$$

Решив эту систему, получим следующие $x_2, x_3$:
$x_2=61\frac{980}{1029}, x_3=140\frac{980}{1029}$ .

В итоге, получаем наше третье решение:
$x^3=(\frac{80}{21};61\frac{980}{1029};140\frac{980}{1029})$ при $(\lambda_0=1;\lambda_1=-\frac{3}{7};\lambda_2=-\frac{16}{7};\lambda_3=0)$

Получив три решения, я решил определить значения своей функции в этих точках:

В итоге:

$f(x^1)=-14\frac{221}{2940}$

$f(x^2)=-3$

$f(x^3)=-325\frac{26}{147}$

Я также построил плоскости, заданные в условии и поразмыслив, пришёл к выводу, что моя функция неограничена сверху, следовательно, у меня не будет максимума. Осталось разобраться с минимумами. Очень прошу помочь мне в этом деле, т.к. не совсем понимаю, как мне дальше разобраться с локальными и абс. минимумами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на абсолютные и локальные экстремумы
Сообщение14.03.2013, 14:23 


02/11/08
1180
Так как линии уровня целевой функции на каждой их трех заданных плоскостей - семейства парабол - конечно экстремумов не будет на этих плоскостях. Поэтому надо исследовать границы. Каждая пара плоскостей пересекается вдоль прямой - таких прямых три - можно посмотреть поведение целевой функции на этих трех прямых. Найти координаты точек экстремума. Проверить в этих точках выполнение ограничений. И в точке, где все три плоскости пересекаются тоже посмотреть значение функции.

Вот одна прямая

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x-7y%2B3z%2B7%3D0%3B+5x%2B2y-z-2%3D0%3B
http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+3x%5E2-11x-3%2816x%2B1%29-37x

-здесь точка минимума $x=16, y=257, z=592$ - ну и надо проверить принадлежность ее допустимой области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на абсолютные и локальные экстремумы
Сообщение14.03.2013, 19:38 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
ARD_ElEcTrO в сообщении #695120 писал(а):
Осталось разобраться с минимумами. Очень прошу помочь мне в этом деле, т.к. не совсем понимаю, как мне дальше разобраться с локальными и абс. минимумами.

Допустим у Вас вычисления правильные. (Я не проверял, но можете проверить их с помощью теоремы Куна-Таккера). Тогда абсолютный минимум как-бы очевиден. У Вас нет на этот счёт гипотез? Являются ли остальные подозрительные точки локальными экстремумами, определить сложнее. Насчёт достаточных условий минимума у Вас в конспекте (или учебнике) ничего нет?

-- Чт мар 14, 2013 20:50:53 --

Обратите внимание, что минимизируемая квадратичная форма неотрицательная (точнее, неотрицательно определена) и, следовательно, выпукла. Что известно насчёт локальных минимумов для таких функций?

-- Чт мар 14, 2013 20:54:45 --

Поиск подозрительных точек обычно организуют так. Сначала рассматривают внутренность допустимого множества. Затем все грани по отдельности. Затем все рёбра. Затем вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на абсолютные и локальные экстремумы
Сообщение15.03.2013, 04:26 


02/11/08
1180
мат-ламер в сообщении #695670 писал(а):
Поиск подозрительных точек обычно организуют так. Сначала рассматривают внутренность допустимого множества.

А где тут "внутренность" в пространстве между тремя плоскостями? :-) Она (внутренность) неограничена между тремя плоскостями - поэтому тут остаются только лучи (ребра трехгранного угла) и одна вершина. А грани трехгранного угла вроде нет смысла смотреть - все экстремумы на ребрах в этом конкретном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на абсолютные и локальные экстремумы
Сообщение15.03.2013, 20:06 


02/11/08
1180
Если посмотреть два луча, выходящие из вершины трехгранного угла $(0,1,0)$ - то для них получаются такие параметризации $(t,16t+1,37t)$ $(-t,-t/7+1,0)$ - параметр t возрастает от $0$, что бы эти лучи шли в сторону допустимых значений, они будут границами одного из плоских углов трехгранного угла допустимой области - и можно параметризовать весь этот плоский угол - например так
$$x=40p-70q$$
$$y=640p-10q+1$$
$$z=1480p$$
$$p,q\geq 0 $$

и тогда вот получается картина линий уровня целевой функции внутри это угла такая (развернул ее на прямой угол)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=contor+plot++3%2840p-70q%29%5E2-11%2840p-70q%29-3%28%28640p-10q%2B1%29%29-1480p+for+p%3D0..1%2C++q%3D0..1

Видно что на одной границе есть точка минимума $x=16, y=257, z=592$ (если мы двигаемся вдоль границы из вершины угла) - но если мы смещаемся внутрь этого плоского угла оставаясь в допустимой области, то можно выбрать направление, где целевая функция будет убывать - т.е. точка $x=16, y=257, z=592$ не является точкой минимума для плоского угла ограничивающего допустимую область.

Ну и с остальными подозрительными точками тоже все не очень хорошо - что-то у меня они вообще в допустимую область не попали - если ничего не напутал. Была бы еще одна плоскость, чтобы допустимая область была тетраэдром - как-то бы повеселее наверное все было. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group