Исследовать на абсолютные и локальные экстремумы

[ARD_ElEcTrO]

Привет, ребята! Всем хорошего дня! Прошу помочь мне добить вот такую вот задачку. Необходимо исследовать на абсолютные и локальные макс. и мин.:


$3x_1^2-11x_1-3x_2-x_3 \rightarrow extr$

$x_1-7x_2+3x_3+7 \leq 0$

$5x_1+2x_2-x_3-2 \leq 0$

$-x_3 \leq 0$

$L=\lambda_0(3x_1^2-11x_1-3x_2-x_3 )+\lambda_1 (x_1-7x_2+3x_3+7)+\lambda_2 (5x_1+2x_2-x_3-2)+\lambda_3 x_3$

Запишем условие стационарности:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_1}=\lambda_0(6x_1-11)+\lambda_1+5\lambda_2=0&\text{}\\ \frac{\partial L}{\partial x_2}=-3\lambda_0-7\lambda_1=0&\text{}\\ \frac{\partial L}{\partial x_3}=-\lambda_0+3\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ \lambda_1(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\ -\lambda_3x_3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Положим $\lambda_0=0$:
Тогда:

$$ \begin{cases} \lambda_1+5\lambda_2=0&\text{}\\ -7\lambda_1=0&\text{=> $\lambda_1=0$ => $\lambda_2=0$. Противоречие;}\\ 3\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ \lambda_1(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\ -\lambda_3x_3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Тогда, положим $\lambda_0=1$. Отсюда:

$$ \begin{cases} (6x_1-11)+\lambda_1+5\lambda_2=0&\text{}\\ -3-7\lambda_1=0&\text{=> $-3=7\lambda_1$; $\lambda_1=-\frac{3}{7}$}\\ -1+3\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ \lambda_1(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\ -\lambda_3x_3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Подставим найденное значение $\lambda_1=-\frac{3}{7}$ во все уравнения. Получим:

$$ \begin{cases} (6x_1-11)-\frac{3}{7}+5\lambda_2=0&\text{}\\ -1-\frac{9}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ -\frac{3}{7}(x_1-7x_2+3x_3+7)=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\ -\lambda_3x_3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

"Причешем" систему:

$$ \begin{cases} 6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\ -\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\ -\lambda_3x_3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

По последнему уравнению системы, сделаем предположение. Пусть $\lambda_3\neq0=>x_3=0$. Тогда:
I)

$$ \begin{cases} 6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\ -\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+3x_2-3=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-2)=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Из последнего уравнения полученной системы либо $\lambda_2=0$, либо $5x_1+2x_2-2=0$. Проверим эти случаи.
Пусть $\lambda_2=0$. Тогда:
а)

$$ \begin{cases} x_1=\frac{40}{21}&\text{}\\ \lambda_3=-\frac{16}{7}&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+3x_2-3=0&\text{=> $x_2=(3+\frac{3}{7}\frac{40}{21})\frac{1}{3}=\frac{187}{140}$}\\ \end{cases} $$

В результате чего, получили следующее решение:
$x^1=(\frac{40}{21};\frac{187}{140};0)$, при $(\lambda_0=1;\lambda_1=-\frac{3}{7};\lambda_2=0;\lambda_3=\frac{16}{7};)$

Теперь пусть $5x_1+2x_2-2=0$. Тогда:
$x_2=\frac{2-5x_1}{2}$
б)

$$ \begin{cases} 6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\ -\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+3(\frac{2-5x_1}{2})-3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} 6x_1+5\lambda_2-\frac{80}{7}=0&\text{}\\ -\frac{16}{7}-\lambda_2+\lambda_3=0&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+(\frac{6-15x_1}{2})-3=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Домножим последнее уравнение на 14. Получим:

$-6x_1+42-105x_1-42=0$. Отсюда, $x_1=0$. Тогда: $x_2=\frac{2}{2}=1$
В итоге, получили решение:
$x^2=(0;1;0)$, при $(\lambda_0=1;\lambda_1=-\frac{3}{7};\lambda_2=\frac{16}{7};\lambda_3=\frac{32}{7};)$

Теперь вернёмся к случаю $\lambda_3=0$, т.е. $x_3\neq0$. Наша система примет вид:
II)

$$ \begin{cases} 6x_1+5\lambda_2=\frac{80}{7}&\text{}\\ \lambda_2=-\frac{16}{7}&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\ \lambda_2(5x_1+2x_2-x_3-2)=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Из последнего уравнения этой системы либо $\lambda_2=0$, либо $5x_1+2x_2-x_3-2=0$. Проверим оба случая:
Пусть $\lambda_2=0$.
а)Получаем противоречие, т.к. вторая строка этой системы гласит, что $\lambda_2=-\frac{16}{7}$.
Рассмотрим теперь $5x_1+2x_2-x_3-2=0$:
б)

$$ \begin{cases} 6x_1+5\lambda_2=\frac{80}{7}&\text{Из второго уравнения, подставив лямбда_2: $x_1=\frac{80}{21}$}\\ \lambda_2=-\frac{16}{7}&\text{}\\ -\frac{3}{7}x_1+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\ 5x_1+2x_2-x_3-2=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Подставим найденное значение $x_1$ в два последних уравнения. Получим:

$$ \begin{cases} -\frac{3}{7}\frac{80}{21}+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\ 5\frac{80}{21}+2x_2-x_3-2=0&\text{}\\ \end{cases} $$

Преобразуем:

$$ \begin{cases} -\frac{80}{49}+3x_2-\frac{9}{7}x_3-3=0&\text{}\\ \frac{400}{21}+2x_2-x_3-2=0&\text{}\\ \end{cases} $$

И ещё преобразуем:

$$ \begin{cases} 3x_2-\frac{9}{7}x_3=\frac{227}{49}&\text{}\\ 2x_2-x_3=-\frac{358}{21}&\text{}\\ \end{cases} $$

Решив эту систему, получим следующие $x_2, x_3$:
$x_2=61\frac{980}{1029}, x_3=140\frac{980}{1029}$ .

В итоге, получаем наше третье решение:
$x^3=(\frac{80}{21};61\frac{980}{1029};140\frac{980}{1029})$ при $(\lambda_0=1;\lambda_1=-\frac{3}{7};\lambda_2=-\frac{16}{7};\lambda_3=0)$

Получив три решения, я решил определить значения своей функции в этих точках:

В итоге:

$f(x^1)=-14\frac{221}{2940}$

$f(x^2)=-3$

$f(x^3)=-325\frac{26}{147}$

Я также построил плоскости, заданные в условии и поразмыслив, пришёл к выводу, что моя функция неограничена сверху, следовательно, у меня не будет максимума. Осталось разобраться с минимумами. Очень прошу помочь мне в этом деле, т.к. не совсем понимаю, как мне дальше разобраться с локальными и абс. минимумами.

[Yu_K]

Так как линии уровня целевой функции на каждой их трех заданных плоскостей - семейства парабол - конечно экстремумов не будет на этих плоскостях. Поэтому надо исследовать границы. Каждая пара плоскостей пересекается вдоль прямой - таких прямых три - можно посмотреть поведение целевой функции на этих трех прямых. Найти координаты точек экстремума. Проверить в этих точках выполнение ограничений. И в точке, где все три плоскости пересекаются тоже посмотреть значение функции.

Вот одна прямая

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x-7y%2B3z%2B7%3D0%3B+5x%2B2y-z-2%3D0%3B
http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+3x%5E2-11x-3%2816x%2B1%29-37x

-здесь точка минимума $x=16, y=257, z=592$ - ну и надо проверить принадлежность ее допустимой области.

[мат-ламер]

ARD_ElEcTrO в сообщении #695120 писал(а):

Осталось разобраться с минимумами. Очень прошу помочь мне в этом деле, т.к. не совсем понимаю, как мне дальше разобраться с локальными и абс. минимумами.

Допустим у Вас вычисления правильные. (Я не проверял, но можете проверить их с помощью теоремы Куна-Таккера). Тогда абсолютный минимум как-бы очевиден. У Вас нет на этот счёт гипотез? Являются ли остальные подозрительные точки локальными экстремумами, определить сложнее. Насчёт достаточных условий минимума у Вас в конспекте (или учебнике) ничего нет?

-- Чт мар 14, 2013 20:50:53 --

Обратите внимание, что минимизируемая квадратичная форма неотрицательная (точнее, неотрицательно определена) и, следовательно, выпукла. Что известно насчёт локальных минимумов для таких функций?

-- Чт мар 14, 2013 20:54:45 --

Поиск подозрительных точек обычно организуют так. Сначала рассматривают внутренность допустимого множества. Затем все грани по отдельности. Затем все рёбра. Затем вершины.

[Yu_K]

мат-ламер в сообщении #695670 писал(а):

Поиск подозрительных точек обычно организуют так. Сначала рассматривают внутренность допустимого множества.

А где тут "внутренность" в пространстве между тремя плоскостями? Она (внутренность) неограничена между тремя плоскостями - поэтому тут остаются только лучи (ребра трехгранного угла) и одна вершина. А грани трехгранного угла вроде нет смысла смотреть - все экстремумы на ребрах в этом конкретном случае.

[Yu_K]

Если посмотреть два луча, выходящие из вершины трехгранного угла $(0,1,0)$ - то для них получаются такие параметризации $(t,16t+1,37t)$ $(-t,-t/7+1,0)$ - параметр t возрастает от $0$, что бы эти лучи шли в сторону допустимых значений, они будут границами одного из плоских углов трехгранного угла допустимой области - и можно параметризовать весь этот плоский угол - например так

$$x=40p-70q$$

$$y=640p-10q+1$$

$$z=1480p$$

$$p,q\geq 0 $$

и тогда вот получается картина линий уровня целевой функции внутри это угла такая (развернул ее на прямой угол)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=contor+plot++3%2840p-70q%29%5E2-11%2840p-70q%29-3%28%28640p-10q%2B1%29%29-1480p+for+p%3D0..1%2C++q%3D0..1

Видно что на одной границе есть точка минимума $x=16, y=257, z=592$ (если мы двигаемся вдоль границы из вершины угла) - но если мы смещаемся внутрь этого плоского угла оставаясь в допустимой области, то можно выбрать направление, где целевая функция будет убывать - т.е. точка $x=16, y=257, z=592$ не является точкой минимума для плоского угла ограничивающего допустимую область.

Ну и с остальными подозрительными точками тоже все не очень хорошо - что-то у меня они вообще в допустимую область не попали - если ничего не напутал. Была бы еще одна плоскость, чтобы допустимая область была тетраэдром - как-то бы повеселее наверное все было.