Зачем тут алгебраическая независимость

[xmaister]

Когда мы строим кольцо многочленов от множества переменных $S$ как моноидную алгебру нас совершенно не интересует никакая информация об $S$, кроме того, что $S$-множество. И зачем здесь предполагается, что $t_i$- элементы некоторой $A$-алгебры?

[bot]

Здесь просто раскрыли скобочки и по Виету получили симметрические многочлены $s_i$ - всё. Алгебраическая независимость и откуда $X$ пока не при чём, видимо понадобится дальше.

[xmaister]

Это параграф в Ленге про симметрические многочлены. Там доказывают, что симметрические многочлены алгебраичсеки независимые над $A$. Но для этого совершенно не обязательно знать, что $t_i$- элементы $A$-алгебры. Или я что-то не понимаю?

[AV_77]

xmaister в сообщении #695956 писал(а):

Но для этого совершенно не обязательно знать, что $t_i$- элементы $A$-алгебры.

Если они алгебраически зависимы, то и симметрические многочлены от них алгебраически зависимы. Тривиальный пример - когда все $t_i$ лежат в $A$.

[RIP]

Я не вижу тут никаких $A$-алгебр, если честно. Алгебраически независимые элементы --- это фактически то же самое, что независимые переменные (если работать только с многочленами). При этом они могут браться из какой-то $A$-алгебры, но с точки зрения многочленов над $A$ они ведут себя, как независимые переменные.

-- Пт 15.03.2013 20:41:50 --

В любом случае их всегда можно рассматривать как элементы $A$-алгебры $A[t_1,\ldots,t_n]$.

[xmaister]

RIP в сообщении #696219 писал(а):

Я не вижу тут никаких $A$-алгебр, если честно.

Как это? Чтобы определить алгебраическую независимость мноества $S$ над $A$ необходимо уметь умножать элементы множества $S$ на себя и на эелменты кольца $A$.

[AV_77]

А в чем тогда у вас проблема? Элементы $t_i$ являются элементами $A$-алгебры. Их алгебраическая независимость нужна для того, чтобы симметрические многочлены были алгебраически независимыми.

[RIP]

Просто для теоремы важна только алгебраическая независимость $t_i$, так что её можно применять для, скажем, $t_1=X_1^7-1$, $t_2=X_1^3+X_2^5$. При этом общность нисколько не теряется, поскольку всегда можно рассмотреть $t_i$ как элементы $A[t_i]$.

[xmaister]

А что, если я рассмотрю $A$-алгебру и выберу $t_1,\ldots t_n$- алгебраически зависимые, то симметрические многочлены $s_1,\ldots ,s_n\in A[t_1,\ldots t_n]$ будут алгераически зависимыми над $A$? В кольце многочленов $A[t_1,\ldots t_n]$ нам не важно куда эти $t_1,\ldots t_n$ вложены.

[AV_77]

Конечно будут. Рассмотрите случай, когда все $t_i$ лежат в $A$. При этом все многочлены от них, и симметрические в том числе, также будут элементами $A$. Если, например, $f(t_1, \ldots, t_n) = 0$ - алгебраическая зависимость, то можно рассмотреть симметрический многочлен $g = \prod_{s \in S_n} (s \circ f)$. Представив его в виде многочлена от элементарных симметрических получим их алгебраическую зависимость.

А в кольцо многочленов строится так, чтобы $t_i$ были алгебраически независимы.

[xmaister]

Т.е. рассматривается значения симметрических многолченов $A[X_1,\ldots X_n]$ при $X_1=t_1,\ldots X_n=t_n$?

-- 15.03.2013, 23:48 --

Я подумал, что рассматривается именно элементы алгебры многочленов, которая строится как множество формальных сумм.

[AV_77]

xmaister в сообщении #696337 писал(а):

Я подумал, что рассматривается именно элементы алгебры многочленов, которая строится как множество формальных сумм.

Когда к кольцу $A$ присоединяются элементы $t_i$ некоторой алгебры $B$, то, естественно, что все свойства этих элементов в алгебре $B$, сохраняются и в кольце $A[t_i]$. И если в $B$ было $t_i^2 = 1$, то и в $A[t_i]$ будет $t_i^2 = 1$. Скажем, когда вы $\mathbb{Q}$ присоединяете например, $\sqrt{2}$, то вы же не рассматриваете $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ как множество формальных сумм.

[xmaister]

Теперь все понятно. Большое спасибо.