Конечно будут. Рассмотрите случай, когда все

лежат в

. При этом все многочлены от них, и симметрические в том числе, также будут элементами

. Если, например,

- алгебраическая зависимость, то можно рассмотреть симметрический многочлен

. Представив его в виде многочлена от элементарных симметрических получим их алгебраическую зависимость.
А в кольцо многочленов строится так, чтобы

были алгебраически независимы.