Поточечная сходимость в С[0,1] не экв. сходимости по метрике

[neo66]

Someone писал(а):

neo66 писал(а):

Кстати, поточечная сходимость при условии ограниченности, задается слабой топологией на пространстве $C[0,1]$.

Имеется в виду ограниченность последовательности по норме?
Слабая топология на $C([0,1])$ - это наименьшая топология, в которой непрерывны все линейные функционалы на $C([0,1])$, непрерывные по обычной норме?

Нельзя ли подробнее? Что-то я не соображу, почему так.

Именно так! Обсуждение этого есть в книжке Колмогорова, Фомина, стр.~197.

[Someone]

neo66 писал(а):

Someone писал(а):

neo66 писал(а):

Кстати, поточечная сходимость при условии ограниченности, задается слабой топологией на пространстве $C[0,1]$.

...
Нельзя ли подробнее? Что-то я не соображу, почему так.

Именно так! Обсуждение этого есть в книжке Колмогорова, Фомина, стр.~197.

Я, видимо, недостаточно однозначно выразился. Там (Глава IV, § 3, пункт 2, пример 3) обсуждается как раз достаточно очевидное утверждение, что из слабой сходимости следует поточечная (ограниченность по норме - это Теорема 1 в том же пункте). Меня интересовало как раз, почему из поточечной сходимости и ограниченности по норме следует слабая сходимость. Может быть, это как-нибудь просто доказывается, но мне ничего в голову в данный момент не приходит.

[Brukvalub]

Someone писал(а):

Может быть, это как-нибудь просто доказывается, но мне ничего в голову в данный момент не приходит.

А не вытекает ли это из описания общего вида линейного функционала над пространством непрерывных функций на отрезке и теорем о предельном переходе под знаком интеграла?

[NoEmpty]

День добрый.

Может кто прояснить как доказывается приведённое здесь утверждение 1?
У меня нет ни малейшей идеи. Да и сама формулировка выглядит как-то смутно.

И ещё вопрос.

RIP в сообщении #69116 писал(а):

По-моему, можно и попроще, прямо по подсказке

Согласно утв. 1, найдётся функция $x_1(t)$, для которой $d(x_1(t),0)<1$, и которая удовлетворяет условию $x_1(t)\geqslant1$ на некотором отрезочке $[t_1+\frac {h_1}3;t_1+\frac{2h_1}3]$. Опять же, согласно утв. 1, найдётся функция $x_2(t)$, для которой $d(x_2(t),0)<\frac12$, и которая удовлетворяет условию $x_2(t)\geqslant1$ на некотором отрезочке $[t_2+\frac {h_2}3;t_2+\frac{2h_2}3]\subset[t_1+\frac {h_1}3;t_1+\frac{2h_1}3]$. Отсюда до полного решения осталось сделать всего один шажок.

Не понятно как из утверждения 1 следует существование таких вот функций.

Надеюсь кто-то поможет разобрать. Ибо сейчас стопорюсь над этим вопросом