Интересная задача с sup и max функций

[Keter]

Докажите, что для любых двух ограниченных функций $f_1, f_2: \mathbb{R} \to [0; +\infty)$ существуют функции $g_1, g_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что $\forall x \in \mathbb{R}$

$$\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(f_1(t)^x f_2(t)\Big)} = \max_{p \in \mathbb{R}}{\Big(xg_1(p)+g_2(p)\Big)}.$$

Хочу доказать, что $\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(f_1(t)^x f_2(t)\Big)} \ge xg_1(p)+g_2(p).$ Потому что из этого следует то, что нужно доказать в задаче.

Рассмотрим функцию $\varphi(x)=\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(x \ln f_1(t) + \ln f_2(t)\Big)}$, она выпуклая. Тогда $e^{\varphi(x)}$ тоже выпуклая. Как это доказать?

Вот к чему я пришел (не без помощи) еще здесь. Что делать дальше?

[Keter]

Честно, я в недоумении, уже почти неделя и ничего...
Нет, ну серьёзно. Я вообще не понимаю при чем тут g к f. Как их связать? И при чём тут выпуклость? Мы можем как-то при доказательстве выпуклости использовать p? А потом как-то и g(p) приплести. Или это вообще не нужно? Может здесь и нет выпуклости, а я пытаюсь доказать то, чего нет... Но вроде, если у нас куча супремумов, то она выпуклая.. или нет.

[sup]

Выпуклость - это хорошее свойство. Пусть $\varphi (x)$ гладкая выпуклая функция. Тогда $\forall a$
$\varphi (x) \geqslant \varphi (a) + \varphi'(a) (x-a)$
Откуда сразу же получаем
$\varphi (x) = \max \limits_a (\varphi (a) + \varphi'(a) (x-a))$
Вам стоит воспользоваться этим равенством. Кроме того, наверное понадобится следующий факт. Пусть имеется параметризованный набор выпуклых функций $\varphi_t (x)$. И пусть
$\psi (x) = \sup \limits_t \varphi_t (x)$
Тогда $\psi (x)$ - выпуклая.

[мат-ламер]

А что нам поможет выпуклость? Если в условии задачи справа вместо $\max$ был бы $\sup$, то мы могли в качестве функций $g$ взять логарифмы от $f$. А поскольку всё же $\max$, то надо доказать, что он достигается. А при таком выборе $g$ он может и не достигаться для монотонных ограниченных $f$. Отсюда вывод, что $g$ надо определять как-то по-другому. (Извиняюсь, написал ерунду. Не обращайте внимания).

[sup]

$\varphi (x) = \max \limits_a (\varphi (a) + \varphi'(a) (x-a))$

В этом равенстве максимум, а не супремум (достаточно взять $a=x$). Кроме того, нам предлагают доказать существование неких функций. Явно предъявлять их не требуется. Правда здесь предполагается гладкость выпуклой функции. Однако мы можем воспользоваться фактом, что любая выпуклая функция почти всюду дифференцируема. Потребуются некоторые доп. усилия. Но все решаемо.

[Keter]

Может ли мне кто-нибудь более-менее кратенько объяснить: что представляет из себя $\sup_{t \in \mathbb{R}} \Big( f_1(t)^x f_2(t) \Big)$, как функция от $x$ ???
Мы рассматриваем её логарифм так как $\operatorname{ran} (f_1,f_2) =[0; +\infty)$:

$$\varphi(x)=\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(x \ln f_1(t) + \ln f_2(t)\Big)}.$$

Итак, функция $\varphi(x)$ выпуклая (sup, а почему я так и не понял). Рассмотрим $e^{\varphi(x)}$. Согласно неравенству Йенсена для любых $x_1, x_2$ и любого $p \in [0; 1]$ имеем:

$$pe^{\varphi(x_1)}+(1-p)e^{\varphi(x_2)} \ge e^{p\varphi(x_1)+(1-p)\varphi(x_2)} \ge e^{\varphi(px_1+(1-p)x_2)}.$$

Получается, что функция $e^{\varphi(x)}$ тоже выпуклая. Тогда построим для каждого $p \in \mathbb{R}$ касательные к $e^{\varphi(x)}$ в точке $x=p.$ Для некоторых $g_1(p), g_2(p) \in \mathbb{R}$ касательные будут иметь вид:

$$y=xg_1(p)+g_2(p), \quad p \in \mathbb{R}.$$

Тогда для всех $x$ можно утверждать, что $e^{\varphi(x)}=\sup_{t \in \mathbb{R}} \Big( f_1(t)^x f_2(t) \Big) \ge xg_1(p)+g_2(p).$ Причём равенство достигается при $x=p.$

Можно ли так вводить и использовать функции $g$ ? То есть можно же заменять на функции $g_1(t), g_2(t)$ некрасивые выражения при составлении уравнения касательной к $e^{\varphi(x)}$ в точке $x=p$ ?

[sup]

Я не могу понять, зачем Вы логарифмируете. На мой взгляд это лишнее действие.
Насчет выпуклости. Используйте следующие соображения.
1. Функция выпукла тогда и только тогда, когда ее надграфик - выпуклое множество.
2. Пересечение любого семейства выпуклых множеств - выпукло.
Ну а дальше все просто. Для каждого фиксированного $t$ имеем некую функцию от $x$. Доказываем, что она выпукла. Ну и так далее.

[Keter]

Теперь понял почему выпуклая Спасибо.
sup, так идея с касательными верна? Логарифмирую потому, что экспонента всюду возрастает и строго больше нуля - тогда легко составить уравнение касательной. А как можно без логарифмирования?

[sup]

Касательные как раз и дают необходимые неравенства. Вы строите касательные к "логарифму". А что Вам мешает строить касательные к самой функции? Предъявлять то все равно ничего не надо. Достаточно лишь показать, что такие $g_1,g_2$ существуют.

[dm]

Putnam 2012 B5
условие http://putnam.ho.ua/2012/putnam2012.pdf
решение http://math.ucsd.edu/~kedlaya/2012s.pdf
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=509877

[Keter]

sup, что Вы имеете в виду? Нам же важно построить касательные к выпуклой функции. А для этого нужно доказать, что $\sup_{t \in \mathbb{R}} \Big( f_1(t)^x f_2(t) \Big)$ как функция от $x$ выпуклая.

dm, что значит у них в решении "это проверяется с помощью AM-GM"? Там же вроде Йенсен. И что такое "draw support line"? Это касательные имеются в виду?

[dm]

Keter в сообщении #694642 писал(а):

dm, что значит у них в решении "это проверяется с помощью AM-GM"? Там же вроде Йенсен.

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... inequality

Keter в сообщении #694642 писал(а):

И что такое "draw support line"?

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0% ... 1%82%D1%8C
http://en.wikipedia.org/wiki/Supporting_line
http://en.wikipedia.org/wiki/Supporting_hyperplane

Keter в сообщении #694642 писал(а):

Это касательные имеются в виду?

Касательной может не быть.

[Keter]

dm в сообщении #694701 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... inequality

Да. Но у них структура такая же, как и у меня - полностью повторяет неравенство Йенсена. И чтобы показать справедливость этого неравенства они упоминают weight AM-GM. Так же получается?

dm в сообщении #694701 писал(а):

Касательной может не быть.

Согласен. Касательной действительно может не быть.

То есть при решении мы указываем на то, что для выпуклой функции $e^{\varphi(x)}$ в точке $x=p$ можно построить опорные прямые. И их уравнение имеет вид $y=xg_1(p)+g_2(p),$ а так как $\operatorname{dom}(g)=\operatorname{ran}(g)=\mathbb{R},$ то $g_1$ и $g_2$ мы подберем.

Интересно, можно ли обойтись без логарифмирования, как предлагал sup ?
Я логарифмировал из побуждений того, что после мы получаем выпуклую функцию $\varphi(x)$ и затем имеем возможность доказать, что $e^{\varphi(x)},$ то есть исходная функция, также выпуклая. А дальнейшие рассуждения меня привели к прямым под графиком.

-- 13.03.2013, 16:47 --

dm в сообщении #694701 писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0% ... 1%82%D1%8C
http://en.wikipedia.org/wiki/Supporting_line
http://en.wikipedia.org/wiki/Supporting_hyperplane

Спасибо за информацию.