Дифф. геометрия. Нахождение кривизны нормального сечения

[Aizh]

Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой.
Для поверхности $3x^2 + 2y^2 + yz + 2z^2 = 12$ найти максимальную (по модулю) кривизну нормального сечения в точке $(0, -2, 2) $и выписать уравнение соответствующей секущей плоскости.
В общем, записываю в параметрическом виде: $y=u, z=v, x=$большой корень. Нахожу первую квадратичную форму, там ужас получается. Что дальше? Использовать теорему Менье? У меня не получается вторая квадратичная форма. Да к тому же там надо первую и вторую форму умножать на вектор, в направлении которого проведено сечение. Что за вектор? Где он прячется от меня? В общем, помогите. Надеюсь на подробный ответ.

[Munin]

Aizh в сообщении #693607 писал(а):

В общем, записываю в параметрическом виде: $y=u, z=v, x=$большой корень.

Может быть, сначала диагонализовать координаты $yz$?

[Aizh]

Munin в сообщении #694330 писал(а):

Aizh в сообщении #693607 писал(а):

В общем, записываю в параметрическом виде: $y=u, z=v, x=$большой корень.

Может быть, сначала диагонализовать координаты $yz$?

Я уже диагонализировала. Нашла нормаль, первую и вторую квадратичную форму. Что дальше? Хотела использовать теорему Менье $k\cos t=q(e)/G(e)$, где $t$-угол междду нормалью к сечению и нормалью к поверхности, $q$- первая кв. форма, $G$- вторая кв. форма. В формуле кв. формы надо умножить слева и справа на $e$ - вектор, в чьем направлении проведено плоское сечение. Но как бы у вектора $e$ три координаты, а матрицы 2 на 2. Что делать?

[Munin]

Не знаю, а нужна ли тут теорема Мёнье, нельзя ли сразу из второй формы получить ответ.
Вектор $e,$ разумеется, надо спроецировать на касательную плоскость и выразить в параметрической системе координат.

-- 12.03.2013 13:23:48 --

P. S. Если вы будете приводить здесь результаты своих вычислений, а не просто описывать их (словами типа "ужас"), то привлечёте больше внимания могущих и готовых помочь вам людей.

[BVR]

Раз нашли первую и вторую формы, то их коэффициенты надо взять в точке. Найти главные кривизны и главные направления прямо по формулам. Не получится?

[Aizh]

Munin в сообщении #694442 писал(а):

Если вы будете приводить здесь результаты своих вычислений, а не просто описывать их (словами типа "ужас"), то привлечёте больше внимания могущих и готовых помочь вам людей.

Спасибо за совет.



Проверьте пожалуйста вычисления
$3x^2+2y^2+yz+2z^2=12$
$3x^2+(\frac1 {2\sqrt{2}}y+\sqrt{2}z)^2+\frac{15} 8y^2=12$
$x=u$
$y=v$
$z=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{12-\frac{15} 8y^2-3x^2}-\frac1 4y$

$du=(1, 0, \frac{-6u} {2\sqrt{2}\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}})$
$dv=(0, 1, \frac{-15u} {8\sqrt{2}\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}}-\frac1 4)$

Первая кв. форма G
$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$

Нормаль
$( \frac{6u} {2\sqrt{2}\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}}, \frac{15u} {8\sqrt{2}\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}}+\frac1 4, 1)$

$n=(0, -1, 1)$

$duu=(0, 0, -\frac1 {2\sqrt{2}}(\frac{6\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}+\frac{36u^2} {2\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}}} {12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}))$
$dvv=(0, 0, -\frac1 {8\sqrt{2}}(\frac{15\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}+\frac{225v^2} {8\sqrt{12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}}} {12-\frac{15} {8}v^2-3u^2}))$

Вторая кв. форма Q
$ \left( \begin{array}{cc} -\frac1 {\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac5 {3\sqrt{2}} \end{array} \right)$

Далее
$\det(Q-\lambda G)=0$
$\lambda_1=-\frac{5\sqrt{2}} {12} \lambda_2=-\frac1 {\sqrt{2}}$

Беру максимальный по модулю \lambda, т.е. максимальная кривизна $= \frac 1 {\sqrt{2}}$

Нахожу вектор, соответствующий значению \lambda, чтобы написать уравнение плоскости(вторым вектором беру нормаль).
$(Q-\lambda_0 G)X=0$

$X=(1, 0)$ Третью координату у вектора Х беру $0$.

$\det(\left( \begin{array}{ccc} x & y+2 & z-2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right))=-z+2-y-2=-z-y=0$
Таким образом уравнение $y+z=0$