Примеры метрик на R.

[Kleinova]

Нужно придумать примеры метрик на ${R}$. Функции должны быть такого типа, чтобы это не были функции вида \rho(x,y)=f(|x-y|) и \rho(x,y)=|f(x)-f(y)|. Придумала $\sqrt{|x^5-y^5|}$, $\sqrt{|x^3-y^3|}$, \sqrt{|x^-1-y^-1|}, ||x-y|(x-y)|. На большее фантазии не хватило, может кто-то подскажет ещё пару функций? Мои примеры правильные? Эти функции являются метриками?

[Brukvalub]

Все придуманные Вами функции в метрики не годятся: третья функция не считает расстояние до 0, а остальные не удовлетворяют неравенству треугольника.

[Kleinova]

не подскажите в каком направлении думать?

[Brukvalub]

Вот здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=7969 RIP дал Вам неограниченные возможности по придумыванию ограниченных функций-метрик.

[Kleinova]

там я всё поняла, а что неограниченные придумать невозможно?

[Brukvalub]

Думаю, что можно придумать и неограниченные, если брать композиции ограниченных метрик и неограниченных функций, не искажающих три основных свойства метрики.

[Kleinova]

если невозможно, не могли бы Вы мне на одном примере показать как это правильно делается? И ещё наблюдением RIPa в той теме я успешно воспользовалась, а вот откуда оно взялось не очень поняла, не объясните? Спасибо.

[Brukvalub]

Kleinova писал(а):

наблюдением RIPa в той теме я успешно воспользовалась, а вот откуда оно взялось не очень поняла, не объясните?

В предложенной RIPом конструкции неравенство треугольника для трех различных точек выполняется автоматически, поскольку сумма двух чисел, каждое из которых не меньше 1, всегда будет не меньше, чем 2, а третье число из неравенства треугольника всегда не превосходит 2, что следует прямо из конструкции. Насчёт примера: сколько-нибудь простой пример пока не выдумывается, а всякие экзотические - вряд ли могут быть клонированы...

[RIP]

Существует куча "тривиальных" метрик, которые нельзя представить в виде, который упомянут в первом посте. Просто берёте любое инъективное отображение $f\colon\mathbb{R}\to M$, где $(M,d)$ --- некое метрическое пространство, и определяете метрику на $\mathbb{R}$ по формуле $\rho(x,y)=d(f(x),f(y))$. Например,

$$\rho(x,y)=\sqrt{(x-y)^2+(\sin x-\sin y)^2+(e^x-e^y)^2}.$$

P.S. Конечно, если подходить к делу формально, то, конечно, все метрики на R получаются таким образом.