Не могу понять условие арифметической задачи

[Ktina]

Привожу дословно:

Натуральное число $x$ называется хорошим, если любое число, меньшее этого числа, является суммой его различных делителей. Докажите, что произведение двух хороших чисел -- хорошее число.
(Кубок Памяти Колмогорова)

Честное слово, не могу понять условие. Ни с лигвистической, ни с математической точки зрения.

[gris]

Например, $6$ хорошее число. $6=1\cdot 2\cdot 3$

$1=1; 2=2; 3=2+1;4=1+3;5=2+3$

Но вообще это неполиткорректно. Любое число хорошо. Надо назвать такие числа, например, относящимися к типу А.

[Sonic86]

Ktina в сообщении #693731 писал(а):

Натуральное число $x$ называется хорошим, если любое число, меньшее этого числа, является суммой его различных делителей.

Например так:
$\mathrm{IsGood}(x)\Leftrightarrow (\forall y\in\mathbb{N})(y<x\Rightarrow (\exists c,d\in\mathbb{N})(c\neq d\& c\mid x\& d\mid x\& y=c+d))$.
Хотя тогда хороших чисел совсем мало.

gris в сообщении #693736 писал(а):

$1=1$

А где тут 2-е слагаемое? $0 \nmid 6$.

[Ktina]

Sonic86 в сообщении #693738 писал(а):

gris в сообщении #693736 писал(а):

$1=1$

А где тут 2-е слагаемое? $0 \nmid 6$.

Видимо, слагаемое может быть и одно. Но я только теперь это поняла

[gris]

А в сумме может быть и одно и много слагаемых. Одно число можно отнести к множеству "различных чисел".

[Sonic86]

gris в сообщении #693745 писал(а):

А в сумме может быть и одно и много слагаемых. Одно число можно отнести к множеству "различных чисел".

Аааа. Тогда да. И тогда

Sonic86 в сообщении #693738 писал(а):

$\mathrm{IsGood}(x)\Leftrightarrow (\forall y\in\mathbb{N})(y<x\Rightarrow (\exists c,d\in\mathbb{N})(c\neq d\& c\mid x\& d\mid x\& y=c+d))$.

неверно.

[Ktina]

Sonic86,
Тогда получается, что все степени двойки -- хорошие. Но не только они.

[ИСН]

В англоязычной традиции - practical number.

[Sonic86]

Ktina в сообщении #693749 писал(а):

Тогда получается, что все степени двойки -- хорошие. Но не только они.

Угу.
Вроде я даже доказал вполне мультипликативность хорошести. Хотя как-то криво.

[Ktina]

Sonic86,
Если не секрет, как?

[mihiv]

Пусть $K_1,K_2$ два хороших числа ($K_2>K_1$). Рассмотрим любое число $N<K_1K_2$. Его можно представить в виде: $N=mK_2+r, 0\leqslant m\leqslant K_1-1,0\leqslant r<K_2$.Т.к. $K_1$ хорошее число, то $m=\sum d^i$, где $d^i$ различные делители $K_1$, и, следовательно, $d^iK_2$-это различные делители числа $K_1K_2,r=\sum q_j$, где $q_j$-различные делители хорошего числа $K_2$, которые являются одновременно различными делителями числа $K_1K_2$.
Таким образом $N$ представлено в виде суммы различных делителей числа $K_1K_2$.

[Ktina]

mihiv,
Спасибо!