Линейный оператор

[mr.tumkan]

Какие из отображений $\mathcal{A}:\;\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ являются линейными операторами?

1) $(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1+2,x_2+1,2x_1)$

2) $(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_3,-x_2,x_3)$

3) $(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1-2x_2,x_1-3x_2+x_3,x_3)$

Наверное, нужно проверить свойства линейного оператора:

a) $\mathcal{A}(\vec{x}+\vec{y})=\mathcal{A}(\vec{x})+\mathcal{A}(\vec{y})$

b) $\mathcal{A}(\alpha\vec{x})=\alpha \mathcal{A}(\vec{x})$

Интуиция подсказывает, что 2,3 -- линейные операторы, а вот 1 -- нелинейный оператор. Но как это честно проверить?

[maxmatem]

Ну и проверте аддитивность и однороднось.В лоб.

[mr.tumkan]

maxmatem в сообщении #694190 писал(а):

Ну и проверте аддитивность и однородность.В лоб.

А как? Вот хочу проверить свойство (а) для 1)

$(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1+2,x_2+1,2x_1)$

Пусть $\vec x=(x_1,x_2,x_3)\;\;\;\;\;\vec y=(y_1,y_2,y_3)$

$(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\mapsto (x_1+y_1+2,x_2+y_2+1,2x_1+2y_1)$

$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)\mapsto (x_1+2,x_2+1,2x_1)+(y_1+2,y_2+1,2y_1)$

$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)\mapsto (x_1+y_2+4,x_2+2,2x_1+2y_1)$

$(x_1+y_1+2,x_2+y_2+1,2x_1+2y_1)\ne (x_1+y_2+4,x_2+2,2x_1+2y_1)$

Значит отображение не явл. линейным оператором, так как нарушено свойство 1.

Правильно? А так писать можно?

[iifat]

Лига противников изображения плюса явно не одобрит.
Кстати говоря, все эти иксы/игреки лишние. Достаточно взять два конкретных вектора, в данном случае -- произвольных: $(0, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$, например.

[mr.tumkan]

iifat в сообщении #694371 писал(а):

Лига противников изображения плюса явно не одобрит.
Кстати говоря, все эти иксы/игреки лишние. Достаточно взять два конкретных вектора, в данном случае -- произвольных: $(0, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$, например.

Ну хорошо, а как это формализовать, подскажите, пожалуйста!

[iifat]

Что может быть формальнее нуля? Мы проверяем свойство подстановкой вместо переменных конкретных значений. Свойство не выполняется. Стало быть, места не имеет.