2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Линейный оператор
Сообщение11.03.2013, 19:05 
Какие из отображений $\mathcal{A}:\;\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ являются линейными операторами?

1) $(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1+2,x_2+1,2x_1)$

2) $(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_3,-x_2,x_3)$

3) $(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1-2x_2,x_1-3x_2+x_3,x_3)$

Наверное, нужно проверить свойства линейного оператора:

a) $\mathcal{A}(\vec{x}+\vec{y})=\mathcal{A}(\vec{x})+\mathcal{A}(\vec{y})$

b) $\mathcal{A}(\alpha\vec{x})=\alpha \mathcal{A}(\vec{x})$

Интуиция подсказывает, что 2,3 -- линейные операторы, а вот 1 -- нелинейный оператор. Но как это честно проверить?

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение11.03.2013, 19:18 
Аватара пользователя
Ну и проверте аддитивность и однороднось.В лоб.

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение11.03.2013, 19:42 
maxmatem в сообщении #694190 писал(а):
Ну и проверте аддитивность и однородность.В лоб.

А как? Вот хочу проверить свойство (а) для 1)

$(x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1+2,x_2+1,2x_1)$

Пусть $\vec x=(x_1,x_2,x_3)\;\;\;\;\;\vec y=(y_1,y_2,y_3)$

$(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\mapsto (x_1+y_1+2,x_2+y_2+1,2x_1+2y_1)$

$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)\mapsto (x_1+2,x_2+1,2x_1)+(y_1+2,y_2+1,2y_1)$

$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)\mapsto (x_1+y_2+4,x_2+2,2x_1+2y_1)$

$(x_1+y_1+2,x_2+y_2+1,2x_1+2y_1)\ne  (x_1+y_2+4,x_2+2,2x_1+2y_1)$

Значит отображение не явл. линейным оператором, так как нарушено свойство 1.

Правильно? А так писать можно?

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение12.03.2013, 04:45 
Лига противников изображения плюса явно не одобрит.
Кстати говоря, все эти иксы/игреки лишние. Достаточно взять два конкретных вектора, в данном случае -- произвольных: $(0, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$, например.

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение12.03.2013, 14:38 
iifat в сообщении #694371 писал(а):
Лига противников изображения плюса явно не одобрит.
Кстати говоря, все эти иксы/игреки лишние. Достаточно взять два конкретных вектора, в данном случае -- произвольных: $(0, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$, например.


Ну хорошо, а как это формализовать, подскажите, пожалуйста!

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение13.03.2013, 01:05 
Что может быть формальнее нуля? Мы проверяем свойство подстановкой вместо переменных конкретных значений. Свойство не выполняется. Стало быть, места не имеет.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group