Решение задач на упругое столкновение шаров

[shau-kote]

Всем доброго времени суток.

Помогите, пожалуйста, разобраться с решением задачи.
Задача, в общем-то, простая, но я уже, похоже, совсем позабыл как это делается. :(

Два шара массами $m_1$ и $m_2$. Один покоится, другой двигается со скоростью $\vector{v_{10}}$. При ударе угол между прямой, соединяющей центры шаров $O_1O_2$ и вектором $\vector{v_{10}}$ составляет $\varphi$.
Удар абсолютно упругий. Найти скорости первого и второго шара и их проекции на оси координат.

Насколько я понимаю, данная задача решается исключительно с помощью ЗСЭ и ЗСИ.
Из ЗСЭ получаем $m_1(v_{10}^2 - v_1^2) = m_2v-2^2$.
Выберем оси координат так, чтобы $OX$ - совпадала с $O_1O_2$, а OY была ей перпендикулярна.
Тогда из ЗСИ получаем:
На $OX$: $m_1(v_{10}\cos\varphi - v_1\cos\alpha) = m_2v_2$, где $\alpha$ - угол между $OY$ и $\vector{v_1}$.
На $OY$: $v_{10}\sin\varphi = v_1\sin\alpha$.

А вот что делать дальше я и не знаю.
В общем-то, конечно, да, у нас три уравнения и три неизвестных, но как-то оно всё не стыкуется.
Подскажите, пожалуйста, что я забыл?

[DimaM]

Удобнее перейти в систему центра масс. В ней относительно плоскости, касательной к обоим шарам при ударе, угол падения у каждого будет равен углу отражения, а скорости по модулю не меняются.

[Oleg Zubelevich]

вводим неподвижную декартову систему координат XYZ с центром в точке контакта шаров во время удара, так, что плоскость XY является касательной к обоим шарам в момент удара.
далее "-" -- до удара "+" -- после удара и будем считать, что покоился первый шар $\overline v_1^-=0$

1) $m_2\overline v_2^-=m_1\overline v_1^++m_2\overline v_2^+$
2) $(\overline v_1^+,\overline e_x)=0, \quad (\overline v_1^+,\overline e_y)=0$
3) $\frac{1}{2}m_2|\overline v_2^-|^2=\frac{1}{2}m_1|\overline v_1^+|^2+\frac{1}{2}m_2|\overline v_2^+|^2$

остается расписать эти уравнения по осям XYZ

-- Вт мар 05, 2013 18:51:51 --

DimaM в сообщении #690961 писал(а):

угол падения у каждого будет равен углу отражения, а скорости по модулю не меняются.

вот это совершенно неочевидно для шаров разной массы

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #691507 писал(а):

вот это совершенно неочевидно для шаров разной массы

В системе центра масс - очевидно.

[Oleg Zubelevich]

я за то чтоб писать уравнения динамики, а не ссылаться на очевидность

[shau-kote]

Прошу прощение за долгое молчание, которое могла создать впечатление, что я потерял интерес к теме.
Отнюдь, поднимал старые учебники и школьные конспекты. Увы, мрак в голове не рассеялся.

Munin в сообщении #691524 писал(а):

В системе центра масс - очевидно.

Извините, но не очевидно, по крайней мере мне.
Не могли бы Вы прокомментировать это более подробно?

Oleg Zubelevich, любопытная идея, мне и в голову не пришло ввести трёхмерную систему координат, учитывая, что удар происходит на плоскости.

[nikvic]

shau-kote в сообщении #692844 писал(а):

Oleg Zubelevich, любопытная идея, мне и в голову не пришло ввести трёхмерную систему координат, учитывая, что удар происходит на плоскости.

Зачем просто, когда можно сложно?

[Oleg Zubelevich]

shau-kote в сообщении #692844 писал(а):

любопытная идея, мне и в голову не пришло ввести трёхмерную систему координат, учитывая, что удар происходит на плоскости

да это сильно. т.е. переписать мои формулы для случая плоскости вы уже не в состоянии?

[Munin]

В системе центра масс мы имеем $\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}=0$ как до, так и после удара (я обозначаю векторы, как принято в большинстве учебников по физике, полужирным шрифтом, а не как предпочитает Oleg Zubelevich). В пространстве импульсов это означает, что два вектора противоположно направлены. После удара они тоже превращаются в два противоположно направленных вектора. В какие? У нас есть закон сохранения энергии, из него $\tfrac{\mathbf{p}_{10}^2}{2m_1}+\tfrac{\mathbf{p}_{20}^2}{2m_2}=\tfrac{\mathbf{p}_{1}^2}{2m_1}+\tfrac{\mathbf{p}_{2}^2}{2m_2}.$ Заменяя в нём $\mathbf{p}_{2}$ на $-\mathbf{p}_{1},$ имеем $k\mathbf{p}_{10}^2=k\mathbf{p}_{1}^2,$ где $k$ - какой-то одинаковый коэффициент, и в итоге, $\mathbf{p}_{1}^2=\mathbf{p}_{10}^2.$ Что это за уравнение? Если $\mathbf{p}_{10}$ в нём считать известным, а $\mathbf{p}_{1}$ - неизвестным, то это уравнение сферы заданного радиуса. Итого, векторы импульсов до удара - два противоположных вектора, а после удара - какие-то два других противоположных вектора, той же длины, но в произвольном направлении.

Это всё верно даже независимо от природы столкновения, например, для столкновения атомов, элементарных частиц, и т. п. Но у нас - круглые шары, и имеется ещё одна величина - плоскость касания. Как она расположена по отношению к начальным и к конечным импульсам? Проведём прямую - биссектрису между векторами $\mathbf{p}_{10}$ и $-\mathbf{p}_{1}$ (знак указывает, какую из двух биссектрис выбрать), очевидно, она будет совпадать с биссектрисой между векторами $\mathbf{p}_{20}$ и $-\mathbf{p}_{2}.$ По отношению к этой биссектрисе наша плоскость касания может иметь какой-то наклон. Но в данном случае удар абсолютно упругий, и значит, законы физики не изменятся, если рассмотреть весь процесс "задом наперёд" во времени, как будто "пустить киноплёнку в обратную сторону". Тогда мы будем иметь такие же шары, налетающие друг на друга, только с других сторон, и чтобы они отразились куда надо, плоскость касания тоже должна быть развёрнута в другую сторону. Если раньше плоскость касания имела угол с нашей биссектрисой $\theta,$ то для столкновения в обратную сторону - она должна будет иметь угол с ней $\pi-\theta.$ И то и другое может быть верно только в случае, если $\theta=\pi/2,$ то есть плоскость касания перпендикулярна этой биссектрисе, и выполняется закон "угол падения" (который теперь угол между $\mathbf{p}_{10}$ и нашей биссектрисой) "равен углу отражения". Для обоих шаров, разумеется.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #692917 писал(а):

Но в данном случае удар абсолютно упругий, и значит, законы физики не изменятся, если рассмотреть весь процесс "задом наперёд" во времени, как будто "пустить киноплёнку в обратную сторону"

обратимость в этой задаче есть, но только она является следствием абсолютной упругости удара, и в определение абсолютной упругости не входит

(Оффтоп)

вот если бы шары были шероховатыми и удар происходил без проскальзывания, то гипотеза обратимости добавляла бы новые уравнения

[Munin]

shau-kote
Прошу прощения, может быть, всё это на самом деле не так уж очевидно. Просто если смотреть на одно и то же непрерывно много лет подряд, оно начинает казаться очевидным, хотя при первом знакомстве требовало нетривиальных рассуждений.

[shau-kote]

Oleg Zubelevich в сообщении #692915 писал(а):

да это сильно. т.е. переписать мои формулы для случая плоскости вы уже не в состоянии?

В таком случае в чём отличие того, что Вы предложили, от моего изначального варианта?

Munin, эко Вы загнули. (:
Но используя Ваши рассуждения можно действительно значительно упростить решение, т.к. угол разлёта ("отражения") становится известен.
Спасибо.

[nikvic]

Munin в сообщении #692929 писал(а):

если смотреть на одно и то же непрерывно много лет подряд, оно начинает казаться очевидным

Со школьно-математической точки зрения описанная особенность упругого удара соответствует знанию одного корня для квадратного уравнения. Тогда второй ищется без радикалов.

[Oleg Zubelevich]

shau-kote в сообщении #693737 писал(а):

В таком случае в чём отличие того, что Вы предложили, от моего изначального варианта?

еще не хватало, что бы я разбирался в ваших вариантах. я предложил решение. а дальше есть плохие студенты, которые не понимают объяснения и есть хорошие ,которые понимают.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #693770 писал(а):

еще не хватало, что бы я разбирался в ваших вариантах.

Хамите, парниша.