Одноэлектронное поле Дирака: классическое или квантовое?

[ИгорЪ]

Утундрий

[zask]

ИгорЪ в сообщении #693134 писал(а):

zask в сообщении #693131 писал(а):
А вообще-то знаете хоть одного более-менее приличного ученого?

Да.

Фамилию можете привести?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #692900 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #692846 писал(а):

Munin, а я только про Максвелла-Дирака и говорил, как там вообще я не знаю. Однако, если подумать, то он сто пудов работает тогда когда нет интегралов движения. Логика тут тривиальная

но ошибочная. Давайте приводите пример, когда работает, или снимайте своё заявление.

Показываю пример.

Нормировка классического поля $\psi$ на единичку работает (является интегралом движения) из-за того что в электродинамике Максвелла-Дирака есть сохраняющийся заряд $Q = \int\limits_{M_3} \star J$ тока $J_{\mu} = e \, \bar\psi \gamma_{\mu} \psi$. Ежели не будет этого интеграла движения, то и нормировка поля $\psi$ на константу станет невозможной.

Задача. Выйдя за пределы электродинамики Максвелла-Дирака изломать ток $J_{\mu} = e \, \bar\psi \gamma_{\mu} \psi$ так чтобы он перестал сохраняться.

Решение. Идея решения проста как пареная репа:

$$S=S_A + S_{\psi} + S_{\chi} + S_{\varphi} + S_{\psi\chi\varphi},$$

$$S_A = - \frac{1}{16 \pi} \int g^{\mu \nu} g^{\sigma \lambda} F_{\mu \sigma} F_{\nu \lambda} \sqrt{-g} \, d_4 x,$$

$$S_{\psi} = \int \bar\psi \left( i \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} \psi - m \psi \right) \sqrt{-g} \, d_4 x,$$

$$S_{\chi} = \int \bar\chi \left( i \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} \chi - M \chi \right) \sqrt{-g} \, d_4 x,$$

$$S_{\varphi} = \frac{1}{2}\int \left( g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu}\varphi - {M'}^2 \varphi^2 \right) \sqrt{-g} \, d_4 x,$$

$$S_{\psi\chi\varphi} = \beta \int \left( \bar\psi\chi + \bar\chi\psi \right) \varphi \, \sqrt{-g} \, d_4 x,$$

Сохраняющийся ток:

$$J_{\mu} = e \, \bar\psi \gamma_{\mu} \psi + e \, \bar\chi \gamma_{\mu} \chi$$

Что же здесь написано? А здесь к электродинамике Максвелла-Дирака добавлено спинорное поле $\chi$ с электрическим зарядом $e$ и массой $M$. Поле $\chi$ отличается от поля $\psi$ лишь массой. Ещё добавлено нейтральное скалярное поле $\varphi$ с массой $M'$. Между полями $\psi$, $\chi$ и $\varphi$ добавлено взаимодействие ($\beta$ - константа этого взаимодействия). Благодаря этому взаимодействию поля $\chi$ и $\psi$ могут взаимно превращаться друг в друга с испусканием или поглощением поля $\varphi$. По этой причине сохраняется лишь полный ток $J_{\mu} = e \, \bar\psi \gamma_{\mu} \psi + e \, \bar\chi \gamma_{\mu} \chi$, а вот ток $e \, \bar\psi \gamma_{\mu} \psi$ отдельно сам по себе больше не сохраняется, что и требовалось.

И так, в этом примере невозможна нормировка поля $\psi$ на константу ибо нет соответствующего интеграла движения, случилось это по той самой причине номер (3), которую Munin считал ошибочной.

[Munin]

Вы вообще помните, с чего начинали?

SergeyGubanov в сообщении #691370 писал(а):

Если мы хотим чтобы вслед за дискретным спектром частот появился и дискретный спектр энергии классического поля, то какие у нас есть варианты:
3) сделать уравнения нелинейными.

Вот что это была за причина номер 3
Так вот, где у вас дискретный спектр энергии?

[VladTK]

Возможно будет полезной информация. В монографии Н.В.Мицкевича "Физические поля в ОТО" (1969) есть параграф 4.9 "Естественная единая теория электромагнитного и фермионного полей". Там описывается процедура перехода от системы электромагнитного и фермионного полей к одному полю - фермионному. Из уравнения Дирака выражается электромагнитный 4-потенциал и подставляется в левую часть уравнений Максвелла. Получается нелинейное уравнение 3-го порядка для фермионного поля. Правда о возможных решениях Мицкевич говорит лишь

Цитата:

...Исследование этих уравнений прежде всего показывает, что не могут существовать сферически симметричные статические поля Максвелла — Дирака, что, конечно, неудивительно, так как в этой теории электрон рассматривается настолько точно, насколько это допускает классическая физика (без вторичного квантования и учета радиационных и поляризационно-вакуумных эффектов), так что наличие у электрона спинового механического и магнитного моментов неизбежно запрещает существование сферически симметричных статических решений...

Упоминается также и альтернативная процедура: 4-потенциал заменяется сразу в лагранжиане. Но тут Мицкевич сразу оговаривается

Цитата:

...Мы получим тогда новую теорию, уравнения которой будут уже не третьего (как в, естественное единой теории) порядка, а четвертого, но зато к ней может быть последовательно применена теорема Нётер и предприняты попытки квантования в основном в тех же направлениях, в каких это делается в нелинейной с самого начала теории гравитаций...

[VladimirKalitvianski]

VladTK в сообщении #693479 писал(а):

Возможно будет полезной информация. В монографии Н.В.Мицкевича "Физические поля в ОТО" (1969) есть параграф 4.9 "Естественная единая теория электромагнитного и фермионного полей". Там описывается процедура перехода от системы электромагнитного и фермионного полей к одному полю - фермионному. Из уравнения Дирака выражается электромагнитный 4-потенциал и подставляется в левую часть уравнений Максвелла. Получается нелинейное уравнение 3-го порядка для фермионного поля.

Что и делает точное решение (если оно существует) сильно отличающимся от воображаемого решения типа свободной плоской волны или традиционного связанного состояния во внешнем поле. С другой стороны, всегда подразумевается, что эффекты самодействия малы (см. высказывания Льюиса в https://docs.google.com/file/d/0B4Db4rFq72mLQmQycW5XOGlsUDg/edit?usp=sharing). Поэтому вредные части (пертурбативного) решения выбрасывают, что эквивалентно отказу от большей части самодействия (достигается в Лагранжиане путем добавления контр-членов). Уравнения с контрчленами менее нелинейны, чем исходные. Можно сказать, уравнения с контр-членами получаются связанными, "как надо", а не "как не надо".

[ИгорЪ]

zask
Зачем

[zask]

ИгорЪ

(Оффтоп)

А что - это зазорно? Что за комплексы? Я же не Вас прошу рассекретиться (если только Вы не себя имели в виду). Или Вы опасаетесь, что не столь уж они и сильные? Зачем мне - могу ответить. Знать сильных ученых - это всегда хорошо - поднабраться у них сильных качеств. Я вот, например, не вижу достаточно сильных. А хотелось бы! Но более важно их наличие для высоких миссий - близких к мистическим. Но где они??? Если Вы мне скажете что-то типа: вот г-н Сидоров, изобрел датчик качества асфальта, то мне станет только смешно. Где Коши или Гиббс русского разлива? Да и в мировой науке картинка больше напоминает пепелище.

[VladimirKalitvianski]

zask в сообщении #693591 писал(а):

ИгорЪ

(Оффтоп)

А что - это зазорно? Что за комплексы? Я же не Вас прошу рассекретиться (если только Вы не себя имели в виду). Или Вы опасаетесь, что не столь уж они и сильные? Зачем мне - могу ответить. Знать сильных ученых - это всегда хорошо - поднабраться у них сильных качеств. Я вот, например, не вижу достаточно сильных. А хотелось бы! Но более важно их наличие для высоких миссий - близких к мистическим. Но где они??? Если Вы мне скажете что-то типа: вот г-н Сидоров, изобрел датчик качества асфальта, то мне станет только смешно. Где Коши или Гиббс русского разлива? Да и в мировой науке картинка больше напоминает пепелище.

(Оффтоп)

Я представляю, как Игорь приводит нескольки имен, а не воспитанные участники форума обгаживают и их. Поэтому лучше перенести такие вопросы/ответы в раздел личной переписки.

[SergeyGubanov]

ИгорЪ в [url=http://dxdy.ru/post693115.html#p693115] писал(а):

Кстати я не знаю ни одного более менее приличного ученого сидящего на подобных форумах.

На профильных форумах фотографов и программистов ситуация обратная. Учёные зарабатывают себе на жизнь своими идеями и своими расчётами, поэтому не могут делиться ими на форумах задаром. Фотографы и программисты зарабатывают себе на жизнь трудом (реализацией идей), поэтому самими идеями делятся легко.

ИгорЪ в [url=http://dxdy.ru/post693115.html#p693115] писал(а):

Вы лучше ( если такое сильное возбуждение ) попробуйте свести эту задачу к точно-решаемым спиновым системам. Это ведь напрашивается.

К точно решаемым моделям у меня нелюбовь ещё со времён моего аспирантства у Белавина, хоть они и были темой моей диссертации. Я в них не верю.

Munin в сообщении #693455 писал(а):

Вы вообще помните, с чего начинали?

SergeyGubanov в сообщении #691370 писал(а):

Если мы хотим чтобы вслед за дискретным спектром частот появился и дискретный спектр энергии классического поля, то какие у нас есть варианты:
3) сделать уравнения нелинейными.

Вот что это была за причина номер 3
Так вот, где у вас дискретный спектр энергии?

Забудьте про спектр, речь про нормировку. Пункт (3) - это сделать уравнения нелинейными для того чтобы избавиться от произвола в нормировке решения системы линейных уравнений. Слова про частоту и энергию там были написаны постольку поскольку я тогда ещё чётко не понял в чём корень проблемы. Я рассуждал так. Если классическое поле $\psi$ колеблется с частотой $\omega$, то означает ли это, что энергия такого поля равна $\hbar \omega$? Нет, не означает потому, что энергия классического поля кроме частоты зависит ещё и от нормировки. Последние несколько страниц я только про нормировку и пишу. А вы всё про дискретный спектр энергии вспоминаете...

-- 10.03.2013, 16:27 --

VladTK в сообщении #693479 писал(а):

В монографии Н.В.Мицкевича "Физические поля в ОТО" (1969)

Цитата:

...не могут существовать сферически симметричные статические поля Максвелла — Дирака...

А как же основной уровень атома водорода? Странно...

[VladimirKalitvianski]

Цитата:

VladTK в сообщении #693479 писал(а):

В монографии Н.В.Мицкевича "Физические поля в ОТО" (1969)

Цитата:

...не могут существовать сферически симметричные статические поля Максвелла — Дирака...

А как же основной уровень атома водорода? Странно...

Там речь идет не о волновой функции водорода, а о создаваемом свободным, но самодействующим электроном поля $A$ для других зарядов.

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #693680 писал(а):

Там речь идет не о волновой функции водорода, а о создаваемом свободным, но самодействующим электроном поля $A$ для других зарядов.

Всё равно мне чёго-то не понятно.

Вот есть система уравнений Максвелла-Дирака для классических полей $A_{\mu}$ и $\psi$. Мицкевич говорит что эта система не имеет сферически симметричных статических решений?

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #693686 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #693680 писал(а):

Там речь идет не о волновой функции водорода, а о создаваемом свободным, но самодействующим электроном поля $A$ для других зарядов.

Всё равно мне чёго-то не понятно.

Вот есть система уравнений Максвелла-Дирака для классических полей $A_{\mu}$ и $\psi$. Мицкевич говорит что эта система не имеет сферически симметричных статических решений?

Да, так и говорит http://s22.postimage.org/cgqprr0kh/150.jpg. Правда, подробностей никаких нет. В частности, не ясно, сделана ли перенормировка или нет. Но он явно прописывает, что нелинейные уравнения для $\psi$ и "обычная" (исходная) система связанных уравнений полностью эквивалентны.

[myhand]

VladimirKalitvianski в сообщении #693688 писал(а):

Правда, подробностей никаких нет.

"В нашей теории с самого начала утрачена возможность калибровки потенциала". WTF?

VladimirKalitvianski в сообщении #693688 писал(а):

В частности, не ясно, сделана ли перенормировка или нет.

Кто про что...

[VladimirKalitvianski]

myhand в сообщении #693714 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #693688 писал(а):

Правда, подробностей никаких нет.

"В нашей теории с самого начала утрачена возможность калибровки потенциала". WTF?

Имеется ввиду лишь необходимость использовать "полное" уравнение для $A$, т.е., с $\partial_{\mu}(\partial\cdot A)$, а калибровочный произвол определяется целиком произволом $\psi$. Иначе говоря, калибровка $A$ просто еще не зафиксирована.

Цитата:

VladimirKalitvianski в сообщении #693688 писал(а):

В частности, не ясно, сделана ли перенормировка или нет.

Кто про что...

Я про то самое, которое кое-кто в упор не хочет видеть, до какой степени нефизично самодействие и уравнения с ним.