Решение логарифмических неравенств

[Dellghin]

Как правильно раскрыть модули в этом неравенстве?
$|x-2|^{2\sqrt{x+1}}\ <\ |x-2|^{x-3}$

[Praded]

У вас неравенство не логарифмическое, а потенциальное .
Порядок решения можно посмотреть здесь http://abitu.ru/olimp/konk/a_5tltu7/f_ggni-arph9fh8ph5

[Dellghin]

ОДЗ получился $x \in [-1, 2) \cup (2, + \infty )$.
Далее решаю эти системы (по Вашему руководству):
$\left\{\!\begin{aligned} & 0 < |x-2| < 1 \\ & 2\sqrt{x+1} > x - 3 \end{aligned}\right. $

$\left\{\!\begin{aligned} & |x-2| > 1 \\ & 2\sqrt{x+1} < x - 3 \end{aligned}\right. $

Ответ получается: $x \in [-1, \ 5 - 2\sqrt{5} ) \cup (1, 2) \cup (2, 3) \cup (5 + 2\sqrt{5} , + \infty )$
Но правильный ответ (если верить Нигме): $x \in (1, 2) \cup (5 + 2\sqrt{5} , + \infty )$
Куда подевать два лишних корня?

[gris]

Взять да подставить спорное $x=2.5$, например. Хотя и так видно, что для первой системы второе неравенство следует из первого по соображениям отрицательности правой части и положительности левой.
То есть Нигме не всегда можно верить.
Но подставив $x=-1$ или $x=0$ видим, что неравенство не удовлетворяется.
То есть Вам тоже не всегда можно верить.

[Dellghin]

Спасибо!