Множественность форм записи электродинамических законов

[FF100]

Магнитные и электрические поля могут быть выражены через их векторные потенциалы
$ \vec H = rot_{} \vec A_H $ , (1)
$ \vec E = rot_{} \vec A_E $ , (2)

Следовательно, уравнения Максвелла можно записать в терминах этих потенциалов:
$ rot_{} \vec A_E = - \mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}}$ , (3)
$ rot_{} \vec A_H = \varepsilon \frac{{\partial \vec A_E }} {{\partial t}}$ . (4)
Для каждого из введённых потенциалов можно получить волновое уравнение, в частности
$ rot_{} rot_{} \vec A_E = - \varepsilon \mu \frac{{\partial ^2 \vec A_E }} {{\partial t^2 }}$ (5)
и считать, что в пространстве распространяются не магнитные и электрические поля, а поле электрического векторного потенциала.
При этом, как легко видеть из соотношений (1 – 4), магнитное и электрическое поле определятся через этот потенциал соотношениями:
$\begin{gathered} \vec H = \varepsilon \frac{{\partial \vec A_E }} {{\partial t}} \hfill \\ \vec E = rot_{} \vec A_E \hfill \\ \end{gathered} $ . (6)
Пространственная производная $rot_{} \vec A_E $ и локальная производная по времени $ \frac{{\partial \vec A_E }} {{\partial t}}$ связаны волновым уравнением (5).
Таким образом, использование только одного электрического векторного потенциала позволяет полностью решить задачу о распространении электрического и магнитного полей. Учитывая (6), теперь вектор Пойнтинга можно записать только через вектор $\vec A_E $ :
$\vec P = \varepsilon \left[ {\frac{{\partial \vec A_E }} {{\partial t}} \times rot_{} \vec A_E } \right]$ .
Характерным является то, что при таком подходе обязательным условием распространения является наличие в данной точке пространства, как временных, так и пространственных производных одного и того же потенциала.
Данную задачу можно решить и другим способом, записав волновое уравнение для магнитного векторного потенциала:
$rot_{} rot_{} \vec A_H = - \varepsilon \mu \frac{{\partial ^2 \vec A_H }} {{\partial t^2 }}$ . (7)
При этом магнитное и электрическое поля будут определяться соотношениями
$\begin{gathered} \vec H = rot_{} \vec A_H \hfill \\ \vec E = - \mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} \hfill \\ \end{gathered} $ .
Вектор Пойнтинга в данном случае может быть найден из следующего соотношения:
$\vec P = - \mu \left[ {\frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} \times rot_{} \vec A_H } \right]$ .
Пространственная производная $rot_{} \vec A_H $ и производная по времени $\frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}}$ связаны волновым уравнением (7).
Но можно поступить и по-другому, введя, например, электрические и магнитные токи
$\vec j_E = rot_{} \vec H$ ,
$\vec j_H = rot_{} \vec E$ .
Для этих токов тоже могут быть записаны уравнения:
$rot_{} \vec j_H = - \mu \frac{{\partial \vec j_E }} {{\partial t}}$ ,
$rot_{} \vec j_E = \varepsilon \frac{{\partial \vec j_H }} {{\partial t}}$ .
Эта система по своему виду и заключенной в ней информации ничем не отличается от уравнений Максвелла, и можно считать, что в пространстве распространяются магнитные или электрические токи. И решение задачи распространения при помощи данного метода опять будет содержать в себе полную информацию о процессах распространения.
Рассмотренный процесс введения новых векторных полей можно распространять в обе стороны до бесконечности, вводя все новые векторные поля. Естественно при этом следует вводить и дополнительные калибровки, Таким образом, существует бесконечное множество возможных записей электродинамических законов, но все они равноценны по заключенной в них информации.

[profrotter]

FF100 в сообщении #693318 писал(а):

Магнитные и электрические поля могут быть выражены через их векторные потенциалы
$ \vec H = rot_{} \vec A_H $ , (1)
$ \vec E = rot_{} \vec A_E $ , (2)

У меня такое странное чувство, будто бы из (2) следует, что $div \vec E = 0$.

[FF100]

Там, где зарядов нет, это так.

[myhand]

FF100 в сообщении #693330 писал(а):

Там, где зарядов нет, это так.

Из ваших "выражений через" (вторая формула) - следует что у вас всегда так.

[FF100]

myhand в сообщении #693342 писал(а):

Из ваших "выражений через" (вторая формула) - следует что у вас всегда так.

Если поля распространяются в свободном от зарядов пространстве, то это всегда так.

[myhand]

FF100 в сообщении #693360 писал(а):

Если поля распространяются в свободном от зарядов пространстве, то это всегда так.

Из ваших формул - следует что это так. Как обстоят дела в реальности - людям здесь известно и без вас.

Продолжим тупить?