Обобщённая ассоциативность

[Mitrius_Math]

Пусть $*:A^2 \to A - ассоциативная бинарная операция. Нужно доказать, что композиция $a_1*a_2*...*a_n$, где $a_i \in A, \ i=1, \ 2, \ ...\ ,n$, не зависит от расстановки скобок $\forall n \in \mathbb{N}$. Доказываю методом математической индукции. При $n=3$ утверждение верно, согласно определению ассоциативной бинарной операции. Пусть $n=k$, предположим, что верно утверждение для $a_1*a_2*...*a_k$. Пусть $n=k+1$. Вот тут до меня не доходит, как применить индуктивное предположение.
Кажется, элементарная задача, но...

[Xaositect]

Рассмотрите самое внешнее умножение и скобки, которые оно связывает.

[mihailm]

докажите для четырех сначала

[lek]

Пусть $R_{i}:a\to aa_{i}$ - оператор правого умножения, действующий на этом множестве. Тогда, по индукции: $(a_1R_2\dots R_{m-1})(a_{m}R_{m+1}\dots R_{n})=a_1R_2\dots R_{n}$, что доказывает утверждение.

[a.k.]

Еще интересно переформулировать и доказать эту теорему, не прибегая к рассмотрению формул и таким терминам, как "расстановка скобок", а используя лишь понятие бинарной операции. И это, кстати, надо делать, ибо в курсах алгебры обычно строго не рассматриваются вопросы связи формул с алгебраическими операциями.

[Mitrius_Math]

a.k. в сообщении #693307 писал(а):

Еще интересно переформулировать и доказать эту теорему, не прибегая к рассмотрению формул и таким терминам, как "расстановка скобок", а используя лишь понятие бинарной операции.

Интересная идея. Надо попробовать.

[lek]

Идея пока не просматривается... Расстановка скобок - это просто некое соглашение, определяющее последовательность любых (в данном случае бинарных) операций. Использование скобок упрощает запись и только. Какая предлагается альтернатива этому и зачем, непонятно.