2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Обобщённая ассоциативность
Сообщение07.03.2013, 21:37 
Пусть $*:A^2 \to A - ассоциативная бинарная операция. Нужно доказать, что композиция $a_1*a_2*...*a_n$, где $a_i \in A, \ i=1, \ 2, \ ...\ ,n$, не зависит от расстановки скобок $\forall n \in \mathbb{N}$. Доказываю методом математической индукции. При $n=3$ утверждение верно, согласно определению ассоциативной бинарной операции. Пусть $n=k$, предположим, что верно утверждение для $a_1*a_2*...*a_k$. Пусть $n=k+1$. Вот тут до меня не доходит, как применить индуктивное предположение.
Кажется, элементарная задача, но...

 
 
 
 Re: Обобщённая ассоциативность
Сообщение07.03.2013, 21:48 
Аватара пользователя
Рассмотрите самое внешнее умножение и скобки, которые оно связывает.

 
 
 
 Re: Обобщённая ассоциативность
Сообщение07.03.2013, 21:49 
докажите для четырех сначала

 
 
 
 Re: Обобщённая ассоциативность
Сообщение07.03.2013, 22:15 
Аватара пользователя
Пусть $R_{i}:a\to aa_{i}$ - оператор правого умножения, действующий на этом множестве. Тогда, по индукции: $(a_1R_2\dots R_{m-1})(a_{m}R_{m+1}\dots R_{n})=a_1R_2\dots R_{n}$, что доказывает утверждение.

 
 
 
 Re: Обобщённая ассоциативность
Сообщение09.03.2013, 20:00 
Еще интересно переформулировать и доказать эту теорему, не прибегая к рассмотрению формул и таким терминам, как "расстановка скобок", а используя лишь понятие бинарной операции. И это, кстати, надо делать, ибо в курсах алгебры обычно строго не рассматриваются вопросы связи формул с алгебраическими операциями.

 
 
 
 Re: Обобщённая ассоциативность
Сообщение09.03.2013, 20:11 
a.k. в сообщении #693307 писал(а):
Еще интересно переформулировать и доказать эту теорему, не прибегая к рассмотрению формул и таким терминам, как "расстановка скобок", а используя лишь понятие бинарной операции.


Интересная идея. Надо попробовать.

 
 
 
 Re: Обобщённая ассоциативность
Сообщение09.03.2013, 20:42 
Аватара пользователя
Идея пока не просматривается... Расстановка скобок - это просто некое соглашение, определяющее последовательность любых (в данном случае бинарных) операций. Использование скобок упрощает запись и только. Какая предлагается альтернатива этому и зачем, непонятно.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group