Проекция вектора на подпространство, МНК.

[never-sleep]

1. Найти проекцию вектора $(1;1;2)$ на подпространство $\mathbb{R}^3$, заданное уравнением $x_1-x_2+x_3=0$

Решение уравнения $x_1=x_2-x_3$:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+C_1\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

А как дальше?

2. Верно ли, что любую квадратную матрицу с определителем 1 можно элементарными преобразованиями строк привести к $2E$ ($E$ -- единичная матрица)?
С чего тут начать?

3. Методом наименьших квадратов решить систему уравнений.

$\begin{cases} 2x=3\\ 3x=4\\ 4x=5\\ \end{cases}$

Но ведь эта система несовместна, как же тут решать, да еще и МНК?

[mihailm]

1. Заменить второе $C_1$ на $C_2$ и закончить
2. К какому виду сможете привести?
3. Как в методичке написано)

[never-sleep]

1) $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Не знаю -- как дальше проецировать...

2) Подойдет ли $\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&0 \\ \end{pmatrix}$ в качестве контр-примера? (нельзя привести даже к диагональному виду)

[SpBTimes]

never-sleep

1) Найдите теперь коэффициенты, подставив ваш вектор
2) Свойства определителя вспомните ( в нем тоже ведь допускаются элементарные преобразования, которые разве лишь меняют его знак иногда

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #692501 писал(а):

never-sleep

1) Найдите теперь коэффициенты, подставив ваш вектор
2) Свойства определителя вспомните ( в нем тоже ведь допускаются элементарные преобразования, которые разве лишь меняют его знак иногда

Спасибо.
1)

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}=\vec{x}_{\text{проекция}}+\vec{x}_{\text{ортогон.составл}}=C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \\ \end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$

$$\vec{x}_{\text{проекция}}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$$

Верно?

2) Ну да, если прибавить ко второй строке первую, затем из первой вычесть вторую, то получится единичная...
Ну а как тут тогда делать?