2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проекция вектора на подпространство, МНК.
Сообщение07.03.2013, 21:57 
1. Найти проекцию вектора $(1;1;2)$ на подпространство $\mathbb{R}^3$, заданное уравнением $x_1-x_2+x_3=0$

Решение уравнения $x_1=x_2-x_3$:

$\begin{pmatrix}
  x_1  \\
   x_2  \\
 x_3  \\  
\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}
 1  \\
   1  \\
 0  \\  
\end{pmatrix}+C_1\begin{pmatrix}
 -1  \\
   0  \\
 1  \\  
\end{pmatrix}$

А как дальше?

2. Верно ли, что любую квадратную матрицу с определителем 1 можно элементарными преобразованиями строк привести к $2E$ ($E$ -- единичная матрица)?
С чего тут начать?

3. Методом наименьших квадратов решить систему уравнений.

$\begin{cases}
2x=3\\
3x=4\\
4x=5\\
\end{cases}$

Но ведь эта система несовместна, как же тут решать, да еще и МНК?

 
 
 
 Re: Проекция вектора на подпространство, МНК.
Сообщение07.03.2013, 22:13 
1. Заменить второе $C_1$ на $C_2$ и закончить
2. К какому виду сможете привести?
3. Как в методичке написано)

 
 
 
 Re: Проекция вектора на подпространство, МНК.
Сообщение07.03.2013, 23:57 
1) $\begin{pmatrix}
  x_1  \\
   x_2  \\
 x_3  \\  
\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}
 1  \\
   1  \\
 0  \\  
\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}
 -1  \\
   0  \\
 1  \\  
\end{pmatrix}$

Не знаю -- как дальше проецировать...

2) Подойдет ли $\begin{pmatrix}
 1&1  \\
   -1&0  \\
  \end{pmatrix}$ в качестве контр-примера? (нельзя привести даже к диагональному виду)

 
 
 
 Re: Проекция вектора на подпространство, МНК.
Сообщение08.03.2013, 08:29 
Аватара пользователя
never-sleep

1) Найдите теперь коэффициенты, подставив ваш вектор
2) Свойства определителя вспомните ( в нем тоже ведь допускаются элементарные преобразования, которые разве лишь меняют его знак иногда

 
 
 
 Re: Проекция вектора на подпространство, МНК.
Сообщение08.03.2013, 11:39 
SpBTimes в сообщении #692501 писал(а):
never-sleep

1) Найдите теперь коэффициенты, подставив ваш вектор
2) Свойства определителя вспомните ( в нем тоже ведь допускаются элементарные преобразования, которые разве лишь меняют его знак иногда

Спасибо.
1)
$$\begin{pmatrix}
  1 \\
   1 \\
2 \\  
\end{pmatrix}=\vec{x}_{\text{проекция}}+\vec{x}_{\text{ортогон.составл}}=C_1\begin{pmatrix}
 1  \\
   1  \\
 0  \\  
\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}
 -1  \\
   0  \\
 1  \\  
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
x_1'  \\
   x_2'  \\
 x_3'  \\  
\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}
 1  \\
   1  \\
 0  \\  
\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}
 -1  \\
   0  \\
 1  \\  
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2  \\
   0  \\
0  \\  
\end{pmatrix}$$

$$\vec{x}_{\text{проекция}}=\begin{pmatrix}
-1 \\
   1  \\
2  \\  
\end{pmatrix}$$

Верно?

2) Ну да, если прибавить ко второй строке первую, затем из первой вычесть вторую, то получится единичная...
Ну а как тут тогда делать?

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group