Функциональное неравенство

[Ktina]

Найти все такие функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$, чтобы при любых $x,y,z,t\in\mathbb R$ выполнялось

$$f(x+y)+f(x+z)+f(x+t)+f(y+z)+f(y+t)+f(z+t)\ge 6f(x-3y+5z+7t)$$

[Alexander Evnin]

Положив $y=t=x$, $z=-x$, получим $f(2x)\ge f(0)$.
Положив $y=t=-x$, $z=x$, получим

$$f(-2x)+4f(0)\ge 5f(2x).\eqno(*)$$

С учётом предыдущего отсюда следует, что $f(-2x)\ge f(2x)$.
Заменив $x$ на $-x$, имеем $f(2x)\ge f(-2x)$. Значит, $f(-2x)=f(2x)$.
Но тогда из $(*)$ $f(0)\ge f(2x)$.
Таким образом, для любого $x$ справедливо $f(2x)=f(0)$ --- функция
является постоянной. С другой стороны, очевидно, что любая константа
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $f(x)=const$.

[Ktina]

Alexander Evnin,
У меня капельку иначе.

(1) Положим

$$x=a, \quad y=z=t=0$$

, где $a$ -- любое вещественное число.
Имеем

$$3f(a)+3f(0)\ge 6f(a)\to f(0)\ge f(a)$$

(2) Далее, положим,

$$x=y=t=\frac{a}{2},\quad z=-\frac{a}{2}$$

Имеем

$$3f(a)+3f(0)\ge 6f(0)\to f(0)\le f(a)$$

Из (1) и (2) немедленно следует, что

$$f(0)=f(a)$$

для любого вещественного $a$, сиречь, искомая функция -- тождественная константа. Ну и, само собой, любая тождественная константа удовлетворяет условию задачи.