2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное неравенство
Сообщение06.03.2013, 23:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найти все такие функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$, чтобы при любых $x,y,z,t\in\mathbb R$ выполнялось $$f(x+y)+f(x+z)+f(x+t)+f(y+z)+f(y+t)+f(z+t)\ge 6f(x-3y+5z+7t)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное неравенство
Сообщение07.03.2013, 05:16 
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Положив $y=t=x$, $z=-x$, получим $f(2x)\ge f(0)$.
Положив $y=t=-x$, $z=x$, получим
$$f(-2x)+4f(0)\ge 5f(2x).\eqno(*)$$
С учётом предыдущего отсюда следует, что $f(-2x)\ge f(2x)$.
Заменив $x$ на $-x$, имеем $f(2x)\ge f(-2x)$. Значит, $f(-2x)=f(2x)$.
Но тогда из $(*)$ $f(0)\ge f(2x)$.
Таким образом, для любого $x$ справедливо $f(2x)=f(0)$ --- функция
является постоянной. С другой стороны, очевидно, что любая константа
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $f(x)=const$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное неравенство
Сообщение07.03.2013, 12:55 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Alexander Evnin,
У меня капельку иначе.

(1) Положим $$x=a, \quad y=z=t=0$$, где $a$ -- любое вещественное число.
Имеем $$3f(a)+3f(0)\ge 6f(a)\to f(0)\ge f(a)$$

(2) Далее, положим, $$x=y=t=\frac{a}{2},\quad z=-\frac{a}{2}$$
Имеем $$3f(a)+3f(0)\ge 6f(0)\to f(0)\le f(a)$$

Из (1) и (2) немедленно следует, что $$f(0)=f(a)$$ для любого вещественного $a$, сиречь, искомая функция -- тождественная константа. Ну и, само собой, любая тождественная константа удовлетворяет условию задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group