2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное неравенство
Сообщение06.03.2013, 23:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найти все такие функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$, чтобы при любых $x,y,z,t\in\mathbb R$ выполнялось $$f(x+y)+f(x+z)+f(x+t)+f(y+z)+f(y+t)+f(z+t)\ge 6f(x-3y+5z+7t)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное неравенство
Сообщение07.03.2013, 05:16 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Положив $y=t=x$, $z=-x$, получим $f(2x)\ge f(0)$.
Положив $y=t=-x$, $z=x$, получим
$$f(-2x)+4f(0)\ge 5f(2x).\eqno(*)$$
С учётом предыдущего отсюда следует, что $f(-2x)\ge f(2x)$.
Заменив $x$ на $-x$, имеем $f(2x)\ge f(-2x)$. Значит, $f(-2x)=f(2x)$.
Но тогда из $(*)$ $f(0)\ge f(2x)$.
Таким образом, для любого $x$ справедливо $f(2x)=f(0)$ --- функция
является постоянной. С другой стороны, очевидно, что любая константа
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $f(x)=const$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное неравенство
Сообщение07.03.2013, 12:55 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Alexander Evnin,
У меня капельку иначе.

(1) Положим $$x=a, \quad y=z=t=0$$, где $a$ -- любое вещественное число.
Имеем $$3f(a)+3f(0)\ge 6f(a)\to f(0)\ge f(a)$$

(2) Далее, положим, $$x=y=t=\frac{a}{2},\quad z=-\frac{a}{2}$$
Имеем $$3f(a)+3f(0)\ge 6f(0)\to f(0)\le f(a)$$

Из (1) и (2) немедленно следует, что $$f(0)=f(a)$$ для любого вещественного $a$, сиречь, искомая функция -- тождественная константа. Ну и, само собой, любая тождественная константа удовлетворяет условию задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group