Квадратичная форма

[vas.rublev]

Господа, некоторый заскок. Если надо привести квадратичную форму к диагональному виду, то можно использовать метод Якоби. В Ильине и Поздняке написаны явные формулы как высчитывать коэффициенты в каноническом виде - через отношения угловых миноров.
Но если приводить ее не так, а через нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы квадратичной формы, то получается не так.
Например, $A(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^2+x_{2}^2+2x_{3}^2+4x_{1} x_{3}+8 x_{2}x_{3}$
Выписываем матрицу А
$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 4\\ 2 & 4 & 2\end{array} \right)$

Ее собственные числа 6, -3, 1
Собственные векторы
$ \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right)$ и $ \left( \begin{array}{ccc} -1\\ -2 \\ 2 \end{array} \right)$ и $ \left( \begin{array}{ccc}-2 \\ 1\\ 0\end{array} \right)$


Записываем матрицу Т перехода к этому новому базису
$ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 \\ 4 & -2 & 1\\ 5 & 2 & 0\end{array} \right)$

Нормируем, поделив каждый столбец на корень суммы квадратов элементов в нем.

Дальше считаем матрицу А в новом базисе по формуле
$ T^{-1} A T$
Естественно получаем диагональную матрицу с диагональю $6,-3,1$

Но почему данное приведение приводит к другим результатам чем метод Якоби, где коэффициенты будут равны отношениям угловых миноров. Тут у нас угловые миноры равны $1,1, -18$ - и из них никак не получить $6,-3,1$.

[bot]

vas.rublev в сообщении #691888 писал(а):

Но почему данное приведение приводит к другим результатам чем метод Якоби

А кто и где обещал совпадение результатов? Посмотрите закон инерции квадратичных форм. Что там гарантируется при разных способах приведения?

-- Чт мар 07, 2013 10:22:18 --

Кстати, Вы привели матрицу к диагональной как матрицу линейного оператора, а не как матрицу квадратичной формы. Последнее получится, если столбцы матрицы $T$ ортогонализировать - отнормировать в данном случае, так как они и так ортогональны.

[vas.rublev]

Цитата:

Последнее получится, если столбцы матрицы $T$ ортогонализировать - отнормировать в данном случае, так как они и так ортогональны.

Так я их и ортонормировал, просто не стал писать эту иррациональность в формулы, но при расчетах использовал именно ортонормированный базис.

В общем, так ведь тоже правильно?

[bot]

vas.rublev в сообщении #692074 писал(а):

В общем, так ведь тоже правильно?

Так - это как? Приведётся ли кв. форма к такому (какому?) каноническому виду с помощью такой (а какой?) замены?

[vas.rublev]

Уважаемый bot, поэтому я спрашиваю мнения участников форума, потому что сам не до конца понял.

Канонический вид - когда матрица в этом базисе диагональна. Если построить ортнормированный базис из собственных векторов, то матрица будет диагональной. Значит, канонический вид получен, если исходить из указанного определения.
Закон инерции утверждает, что количество положительных/отрицательных слагаемых в каноническом виде не зависит от способа приведения.

[bot]

vas.rublev в сообщении #692507 писал(а):

Если построить ортнормированный базис из собственных векторов, то матрица будет диагональной

Какая матрица?