Лин. алгебра, блиц-задачи.

[never-sleep]

1) Сумма элементов каждой строки матрицы равна $1$. Докажите, что $1$ является собственным числом.

$\sum_{j}a_{ij}=1\;\;\;j=1,....,n$

Вычтем $1$ из диагональных элементов, получим $(A-E)v=0$, где $v=(1;1;...,1)^T$.

то есть $\lambda=1$ -- собственное число. Верно ли это?

2) $A$ - квадратная матрица. Известно, что сумма ее строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами. Найдите определитель матрицы $A$

А с чего тут начать? Что значит сумма строк? Складываются соответствующие элементы в столбце?

3) Определитель матрицы $A$ равен нулю. Докажите, что число $0$ является собственным числом матрицы $A$. Верно ли обратное утверждение?

$\det A=0$

Если от диагональных элементов вычесть ноль, то определитель будет по-прежнему равен нулю, значит ноль -- собственное число. Можно ли это считать доказательством?

[SpBTimes]

1) Да
2) Наверное, имеется в виду поэлементное суммирование.
3) Да, конечно можно. В одну сторону.

[miflin]

never-sleep в сообщении #692016 писал(а):

Известно, что сумма ее строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами.

Из этого следует, что любая строка является линейной комбинацией остальных
строк (с коэффициентами либо 1, либо -1). А далее что следует?

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #692027 писал(а):

1) Да
2) Наверное, имеется в виду поэлементное суммирование.
3) Да, конечно можно. В одну сторону.

А в обратную на работает?

-- 07.03.2013, 13:22 --

miflin в сообщении #692033 писал(а):

never-sleep в сообщении #692016 писал(а):

Известно, что сумма ее строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами.

Из этого следует, что любая строка является линейной комбинацией остальных
строк (с коэффициентами либо 1, либо -1). А далее что следует?

Ну дальше понятно, что тогда определитель ноль. Но почему "любая строка является линейной комбинацией остальных
строк"?

[Aritaborian]

never-sleep в сообщении #692160 писал(а):

Но почему "любая строка является линейной комбинацией остальных строк"?

Возьмём первую строчку. Прибавим к ней остальные нечётные с коэффициентом $1$, затем все чётные с коэффициентом $-1$. Получим $0$. Налицо линейная зависимость (по определению).