Матрица перехода, матрица оператора.

[never-sleep]

Есть вопросы по 2 задачам.

1) Найдите матрицу перехода от базиса $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ подпространства $\mathbb{R}^2$ к базису $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ подпространства $\mathbb{R}^2$.

Пользуясь

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{21}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n1}\mathbf{a}_n $.
$\mathbf{b}_2 = \alpha_{12}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n2}\mathbf{a}_n $.

$\ldots$

$\mathbf{b}_n = \alpha_{1n}\mathbf{a}_1 + \alpha_{2n}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n $.

Выписываем:

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+y_1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=x_2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+y_2\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

Решая системы, находим $x_1,x_2,y_1,y_2$

Ответом будет $\begin{pmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ \end{pmatrix}$

Верно?

2) Пусть $\mathcal{A}$ -- линейный оператор, заданный в пространстве $\mathbb{R}^3$ и $\vec{e_1},\vec{e_1},\vec{e_1}$ некоторый базис этого же пространства. Известно, что $\mathcal{A}(\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3})=\vec{e_1}$, $\mathcal{A}(\vec{e_3}+\vec{e_2})=\vec{e_2}$, $\mathcal{A}(\vec{e_3})=\vec{e_3}$. Найдите матрицу оператора в этом базисе.

$\mathcal{A}(\vec{e_1})=\vec{e_1}-\vec{e_2}$

$\mathcal{A}(\vec{e_3})=\vec{e_3}$

$\mathcal{A}(\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3})=\mathcal{A}(\vec{e_1})+\mathcal{A}(\vec{e_2})+\mathcal{A}(\vec{e_3})=\vec{e_1}-\vec{e_2}+\vec{e_3}+\mathcal{A}(\vec{e_2})=\vec{e_1}$

$\mathcal{A}(\vec{e_2})=\vec{e_1}-(\vec{e_1}-\vec{e_2}+\vec{e_3})=\vec{e_2}-\vec{e_3}$

По-моему это просто вот такая матрица (но чую, как будто что-то не то, слишком уж просто, наверное, где-то подвох)

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

[SpBTimes]

1) Да
2) Транспонировать надо матрицу вашу

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #691930 писал(а):

1) Да
2) Транспонировать надо матрицу вашу

Спасибо. А зачем, что-то не очень понимаю...

[SpBTimes]

never-sleep
Ну подействуйте вашей матрицей на базисные элементы и посмотрите.
Потому что коэффициенты в матрице оператора выписываются по столбцам

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #691952 писал(а):

never-sleep
Ну подействуйте вашей матрицей на базисные элементы и посмотрите.
Потому что коэффициенты в матрице оператора выписываются по столбцам

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \vec{e_1} \\ \vec{e_2} \\ \vec{e_3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vec{e_1}-\vec{e_2} \\ \vec{e_2}-\vec{e_3} \\ \vec{e_3} \end{pmatrix}$$

[SpBTimes]

Что это? Вектор из векторов?

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #692026 писал(а):

Что это? Вектор из векторов?

Ну да, а что -- такого не бывает? А что вы имели ввиду тогда? Что-то не очень понятно...

-- 07.03.2013, 16:57 --

Не одно ли это и тоже? Перечитал определение матрицы оператора, там все-таки написано также, только вместо векторов там пишутся координаты вектора в базисе.
Читал вот здесь: http://twt.mpei.ac.ru/math/LARB/Linoper ... 30000.html

Не одно ли это и тоже? Это:

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{21}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n1}\mathbf{a}_n $.
$\mathbf{b}_2 = \alpha_{12}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n2}\mathbf{a}_n $.

$\ldots$

$\mathbf{b}_n = \alpha_{1n}\mathbf{a}_1 + \alpha_{2n}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n $

И это:

$\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1\\ \mathbf{b}_2\\ \vdots \\ \vdots \\ \mathbf{b}_n\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{i1} & \cdots & \alpha_{ij} & \cdots & \alpha_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mj} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix}^T\cdot \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\\ \mathbf{a}_2\\ \vdots \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n\\ \end{pmatrix}$

Только вот зачем транспонировать -- пока тоже не ясно(

[SpBTimes]

never-sleep в сообщении #692253 писал(а):

Ну да, а что -- такого не бывает? А что вы имели ввиду тогда? Что-то не очень понятно...

Нужно брать коэффициенты разложения. Далее.

$A: L \to M$, где $\dim L = n$ и $\dim M = k$
Пусть в $L$ задан базис $e_1, ..., e_n$ и в $M$ базис $f_1, ..., f_k$
$x \in L$, так что $x = \sum\limits_{i = 1}^n a_ie_i$
$Ax = \sum\limits_{i = 1}^n a_i Ae_i = \sum\limits_{i = 1}^n a_i \sum\limits_{j = 1}^k b_{j, i} f_j$
Тогда получаем:

$$ A = \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{k,1} & \cdots & b_{k,n} \end{pmatrix}$$

[never-sleep]

Спасибо, ясно.